Zadanie 1
Mamy wielomian:
[tex]W(x)=-5x^3+ax+ab[/tex]
W(-1) = 2 oznacza -- podstaw zamiast x liczbę -1 i to co otrzymasz będzie równe 2. Mamy:
[tex]W(-1)=-5\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)+ab=5-a+ab=2[/tex]
Podobnie mamy:
[tex]W(2)=-5\cdot2^3+a\cdot2+ab=-40+2a+ab=-31[/tex]
Otrzymujemy układ równań:
[tex]\left \{\begin{array}{l} {{5-a+ab=2} \\ {-40+2a+ab=-31}} \end{array}\right. \\\\\\\left \{\begin{array}{l} {{ab-a=-3} \\ {ab+2a=9}} \end{array}\right.[/tex]
Układ rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników (aby wyeliminować ab):
[tex]\left \{\begin{array}{l} {{-ab+a=3} \\ {ab+2a=9}} \end{array}\right. \\\\\\-ab+a+ab+2a=3+9\\\\a+2a=3+9\\\\3a=12\\\\a=4[/tex]
Wykorzystujemy jedno z równań, aby wyznaczyć b:
[tex]ab+2a=9\\\\4\cdot b+2\cdot4=9\\\\4b+8=9\\\\4b=1\\\\b=\dfrac{1}{4}[/tex]
Stąd mamy:
[tex]\boxed{\left \{\begin{array}{l} {{a=4} \\\\ {b=\dfrac{1}{4}}} \end{array}\right.}[/tex]
Zadanie 2
[tex]W(x)=2x^4+a x^3+x+b[/tex]
Wykorzystujemy pierwszy warunek:
[tex]W(1)=2\cdot1^4+a\cdot1^3+1+b=2+a+1+b=a+b+3=-5[/tex]
Wykorzystujemy drugi warunek:
[tex]W(-1)=2\cdot(-1)^4+a\cdot(-1)^3+(-1)+b=2-a-1+b=-a+b+1=-1[/tex]
Mamy układ równań:
[tex]\left \{\begin{array}{l} {{a+b+3=-5} \\ {-a+b+1=-1}} \end{array}\right. \\\\\\\left \{\begin{array}{l} {{a+b=-8} \\ {-a+b=-2}} \end{array}\right. \\\\\\a+b-a+b=-8+(-2)\\\\2b=-10\\\\b=-5\\\\a+(-5)=-8\\\\a=-3[/tex]
Stąd szukane współczynniki to:
[tex]\boxed{\left \{\begin{array}{l} {{a=-3} \\ {b=-5}} \end{array}\right. }[/tex]
