Punkt C leży na przecięciu podanej prostej i symetralnej odcinka AB. Współczynnik kierunkowy prostej AB:
[tex]a_{AB}=\dfrac{4-(-2)}{-5-3}=\dfrac{6}{-8}=-\dfrac{3}{4}[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:
[tex]a\cdot a_{AB}=-1\\\\a\cdot\Big(-\dfrac{3}{4}\Big)=-1\\\\a=\dfrac{4}{3}[/tex]
Środek odcinka AB:
[tex]S=(x,y)\\\\x=\dfrac{3+(-5)}{2}=-1\\\\y=\dfrac{-2+4}{2}=1\\\\S=(-1,1)[/tex]
Równanie symetralnej odcinka AB:
[tex]y=\dfrac{4}{3}x+b\\\\1=\dfrac{4}{3}\cdot(-1)+b\\\\b=\dfrac{7}{3}\\\\y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3}[/tex]
Współrzędne punktu C:
[tex]\left \{\begin{array}{l} {{y=2x+1} \\\\ {y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3}}} \end{array}\right. \\\\\\\left \{\begin{array}{l} {{-2y=-4x-2} \\ {3y=4x+7}} \end{array}\right. \\\\\\-2y+3y=-4x-2+4x+7\\\\y=5\\\\5=2x+1\\\\x=2\\\\\left \{\begin{array}{l} {{x=2} \\ {y=5}} \end{array}\right. \\\\\\C=(2,5)[/tex]
Długość odcinka AB:
[tex]|AB|=\sqrt{(3-(-5))^2+(-2-4)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10[/tex]
Długość odcinka AC:
[tex]|AC|=\sqrt{(3-2)^2+(-2-5)^2}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}[/tex]
Szukany obwód trójkąta:
[tex]\text{Ob}=|AB|+2\cdot|AC|=10+2\cdot5\sqrt{2}=\boxed{10(\sqrt{2}+1)}[/tex]
Odpowiedź:
Obw = 10(1 + √2)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Obw = |AB| + |BC| + |AC|
To trojkat rownoramienny, wiec |AC|=|BC|, czyli
Obw = |AB| + 2|AC|
C(x, 2x+1)
|(x, 2x+1) - (3, -2)| = |(x, 2x+1) - (-5, 4)|
przeksztalcajac do dlugosci i potegujac do kwadratu:
(x - 3)² + (2x + 3)² = (x + 5)² + (2x - 3)²
x²-6x+9+4x²+12x+9=x²+10x+25+4x²-12x+9
przeksztalcajac
24x-6x-10x=16
8x=16
x=2
czyli C(2, 5)
Obw = √(3-(-5)²+(-2-4)²)+2√((3-2)²+(-2-5)²) = √(64+36) + 2√(1+49) =
= 10 + 2√50 = 10 + 10√2 = 10(1 + √2)