Odpowiedź:
Szacujemy podane wyrażenie w następujący sposób
[tex]3=\sqrt[n]{3^n} \leq \sqrt[n]{2^n+3^n+sin^2n} \leq \sqrt[n]{3^n+3^n+3^n} =\sqrt[n]{3 \cdot 3^n} =3[/tex]
Aby znaleźć wyrażenie większe możemy zastąpić każdy składnik przez 3ⁿ, bo sin jest w przedziale (-1,1), a jego kwadrat też w takim samym przedziale, natomiast 2ⁿ<3ⁿ.
Aby znaleźć wyrażenie mniejsze możemy napisać samo 3ⁿ, bo jest na pewno mniejsze od rozważanego wyrażenia.
Czyli na podstawie twierdzenia o trzech ciągach :
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n+sin^2n} =3[/tex]