Rozwiązanie:
Zadanie [tex]2.[/tex]
Badamy granice na krańcach przedziałów, w których funkcja jest określona:
[tex]$\lim_{x \to 0^{-}} h(x)= \lim_{x \to 0^{-}} arcctg\Big(1+\ln\sqrt[3]{x^{2}} \Big)=\Big[arcctg\Big(1+\ln(0)\Big)\Big]=\Big[arcctg\Big(-\infty\Big)\Big]=[/tex]
[tex]=\pi[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 0^{+}} h(x)= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1+2^{\frac{x}{2-x} }} =\frac{0}{1+2^{\frac{0}{2-0} }} =\frac{0}{1+2^{0}} =\frac{0}{2} =0[/tex]
Zatem funkcja nie jest ciągła w punkcie [tex]x_{0}=0[/tex]. Jest to nieciągłość pierwszego rodzaju typu "skok".
Dalej mamy:
[tex]$ \lim_{x \to 2^{-}} h(x)= \lim_{x \to 2^{-}}\frac{x}{1+2^{\frac{x}{2-x} }} =\Big[\frac{2}{\infty}\Big ]=0[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 2^{+}}h(x)= \lim_{x \to 2^{+}} \Big(\frac{1}{3} \Big)^{-\frac{1}{(x-2)^{2}} }=\Big[ \Big(\frac{1}{3} \Big)^{-\infty}\Big]=\infty[/tex]
Zatem funkcja nie jest ciągła w punkcie [tex]x_{0}=2[/tex]. Jest to nieciągłość drugiego rodzaju.
Zadanie [tex]3.[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} sin\sqrt{x}[/tex]
Ustalmy ciągi:
[tex]x_{n_{1}}=\pi^{2}, 4\pi^{2}, 16\pi^{2}...,(\pi n)^{2}[/tex]
[tex]$x_{n_{2}}=\Big(\frac{\pi}{2} \Big)^{2}, \Big(\frac{\pi}{2}+2\pi \Big)^{2}, \Big(\frac{\pi }{2} +4\pi \Big)^{2},...,\Big(\frac{\pi }{2} +2\pi n \Big)^{2}[/tex]
Teraz mamy:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} x_{n_{1}}=\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} x_{n_{2}}=\infty[/tex]
Ponadto:
[tex]f\Big(x_{n_{1}}\Big)=0,0,0,0,0...[/tex]
[tex]f\Big(x_{n_{2}}\Big)=1,1,1,1,1...[/tex]
To wystarczy (def. Heinego o granicy funkcji), aby stwierdzić, że podana granica nie istnieje.
