Rozwiązanie:
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3^{x-2}+4 \ \ \forall x\leq 2\\2x+2 \ \ \forall x>2\end{array}\right[/tex]
Ogólnie dla funkcji [tex]f[/tex] dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, natomiast zbiorem wartości jest przedział [tex](4,5 \rangle \cup (6,\infty)[/tex].
Teraz zajmiemy się wyznaczaniem funkcji odwrotnej. Na początek rozpatrzmy [tex]x\leq 2[/tex] :
[tex]f(x)=3^{x-2}+4[/tex]
Tutaj dziedziną jest [tex]x\leq 2[/tex], a zbiorem wartości przedział [tex](4,5 \rangle[/tex].
Wyznaczamy funkcję odwrotną:
[tex]x=3^{y-2}+4[/tex]
[tex]3^{y-2}=x-4[/tex]
[tex]y-2=log_{3}(x-4)[/tex]
[tex]y=log_{3}(x-4)+2[/tex] dla [tex]x \in (4,5 \rangle[/tex]
Teraz rozpatrzmy [tex]x>2[/tex] :
[tex]f(x)=2x+2[/tex]
Tutaj dziedziną jest [tex]x>2[/tex], a zbiorem wartości przedział [tex](6,\infty)[/tex].
Wyznaczamy funkcję odwrotną:
[tex]x=2y+2[/tex]
[tex]2y=x-2[/tex]
[tex]$y=\frac{1}{2}x-1[/tex] dla [tex]x \in (6,\infty)[/tex]
Zatem funkcję odwrotną ogólnie zapiszemy jako:
[tex]$f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}log_{3}(x-4)+2 \ \ \forall x \in (4, 5 \rangle\\\frac{1}{2}x-1 \ \ \forall x \in (6,\infty)\end{array}\right[/tex]
Tutaj dziedziną jest zbiór wartości funkcji wyjściowej, a zbiorem wartości jest dziedzina funkcji wyjściowej.
Rysunek w załączniku.
