Rozwiązanie:
[tex]a)[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{n \sin n!}{n^{2}+1} = \lim_{n \to \infty} \Big(\frac{n}{n^{2}+1} \cdot \sin n!\Big)[/tex]
Teraz zauważmy, że ciąg [tex]a_{n}=\sin n![/tex] jest ograniczony. Ponadto:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2}\Big(1+\frac{1}{n^{2}} \Big)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n\Big(1+\frac{1}{n^{2}} \Big)} =0[/tex]
Zatem:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \Big(\frac{n}{n^{2}+1} \cdot \sin n!\Big)=0[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}+1} \cos\Big(\frac{\pi n}{4} \Big)[/tex]
Analogicznie ciąg [tex]$b_{n}=\cos\Big(\frac{\pi n}{4} \Big)[/tex] jest ograniczony oraz:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}+1} =\Big[\frac{1}{\infty} \Big]=0[/tex]
Zatem:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}+1} \cos\Big(\frac{\pi n}{4} \Big)=0[/tex]
