Rozwiązanie:
Teza:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{1} +\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2} +\sqrt{3} } +\frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{4} } +...+\frac{1}{\sqrt{98} +\sqrt{99} } +\frac{1}{\sqrt{99} +\sqrt{100} } =9[/tex]
Usuńmy niewymierności z mianowników:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{1} +\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2}-1 }{2-1} =\sqrt{2} -1[/tex]
[tex]$\frac{1}{\sqrt{2} +\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} -\sqrt{2} }{3-2} =\sqrt{3} -\sqrt{2}[/tex]
[tex]$\frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{4} } =\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3} }{4-3} =\sqrt{4} -\sqrt{3}[/tex]
...
[tex]$\frac{1}{\sqrt{98} +\sqrt{99} }=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{98} }{99-98} =\sqrt{99} -\sqrt{98}[/tex]
[tex]$\frac{1}{\sqrt{99} +\sqrt{100} } =\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99} }{100-99} =\sqrt{100}-\sqrt{99}[/tex]
Zatem mamy:
[tex]$\sqrt{2}-1+\sqrt{3} -\sqrt{2} +\sqrt{4} -\sqrt{3} +...+\sqrt{99} -\sqrt{98} +\sqrt{100} -\sqrt{99} =9[/tex]
Widać, że większość pierwiastków się skraca i dostajemy:
[tex]-1+\sqrt{100} =9[/tex]
[tex]-1+10=9[/tex]
[tex]9=9[/tex]
[tex]L=P[/tex]
co kończy dowód.
