Rozwiązanie:
Niech:
[tex]a[/tex] - długość krawędzi podstawy ostrosłupa
[tex]H[/tex] - długość wysokości ostrosłupa
[tex]b[/tex] - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
Wtedy ciąg [tex](a^{2},H^{2},b^{2})[/tex] jest arytmetyczny i zachodzą równości:
[tex]H^{2}=a^{2}+8\\b^{2}=a^{2}+16[/tex]
Ponadto z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]$H^{2}+\Big(\frac{a\sqrt{3} }{3} \Big)^{2}=b^{2}[/tex]
Czyli:
[tex]$a^{2}+8+\frac{a^{2}}{3} =a^{2}+16[/tex]
[tex]$\frac{a^{2}}{3} =8[/tex]
[tex]a^{2}=24[/tex]
[tex]a=2\sqrt{6}[/tex]
Ponadto:
[tex]H^{2}=a^{2}+8=24+8=32 \Rightarrow H=4\sqrt{2}[/tex]
Obliczamy objętość bryły:
[tex]$V=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}\sqrt{3} }{4} \cdot H=\frac{24\sqrt{3} }{12} \cdot 4\sqrt{2} =8\sqrt{6}[/tex]
Obliczamy wysokość ściany bocznej z tw. Pitagorasa:
[tex]$h^{2}+\Big(\frac{a}{2} \Big)^{2}=b^{2}[/tex]
[tex]$h^{2}+\Big(\frac{a}{2} \Big)^{2}=a^{2}+16[/tex]
[tex]$h^{2}+\frac{24}{4} =24+16[/tex]
[tex]h^{2}+6=40[/tex]
[tex]h^{2}=34[/tex]
[tex]h=\sqrt{34}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:
[tex]$P_{c}=6\sqrt{3} +3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{34} =6(\sqrt{3}+\sqrt{51} )[/tex]
