Zapisujemy równanie podanego okręgu w postaci kanonicznej:
[tex]x^2+y^2-4x+4y-8=0\\\\(x-2)^2-4+(y+2)^2-4-8=0\\\\(x-2)^2+(y+2)^2=16\\\\(x-2)^2+(y+2)^2=4^2[/tex]
Zatem jest to okrąg o środku w punkcie O = (2, -2) i promieniu r = 4. Okrąg symetryczny względem początku układu współrzędnych będzie miał środek w punkcie O' = (-2, 2) oraz promień równy r = 4.
Okręgi te przecinają się w punktach A = (-2, -2) oraz B = (2, 2), gdyż są to punkty leżące na obu okręgach oraz odległe od ich środków o 4 jednostki.
Liczymy pole połowy szukanego obszaru jako różnicę pola ćwiartki koła oraz zaznaczonego trójkąta:
[tex]\dfrac{1}{2}P=\dfrac{1}{4}\pi r^2-\dfrac{1}{2}r^2=\dfrac{1}{4}r^2(\pi - 2)=\dfrac{1}{4}\cdot4^2\cdot(\pi-2)=4(\pi-2)[/tex]
Zatem szukane pole to:
[tex]\boxed{P=8(\pi-2)}[/tex]
