Odpowiedź:
ZADANIE 2.
a) [tex]2a+b[/tex]
b) [tex]a+\frac{1}{2}b[/tex]
c) [tex]2b+\frac{1}{2}a[/tex]
ZADANIE 3.
a) [tex]\log_2 15[/tex]
b) [tex]\log_5 2[/tex]
c) [tex]\log \frac{500}{3}[/tex]
d) [tex]\log_2 \frac{15}{8}[/tex]
ZADANIE 4.
a) [tex]12[/tex]
b) [tex]1[/tex]
c) [tex]3[/tex]
d) [tex]9[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
ZADANIE 2.
a)
[tex]\log 20=\log(2^2\cdot 5)=\log2^2+\log5=2\log 2+\log 5=2a+b[/tex]
b)
[tex]\log \sqrt{20}=\log 20^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\log 20=\frac{1}{2}(2a+b)=a+\frac{1}{2}b[/tex]
c)
[tex]\log 25\sqrt{2}=\log(5^2\cdot 2^{\frac{1}{2}})=\log 5^2+\log 2^{\frac{1}{2}}=2\log 5+\frac{1}{2}\log 2=2b+\frac{1}{2}a[/tex]
ZADANIE 3.
a)
[tex]\log_2 5+\log_4 9=\log_2 5+\frac{\log_2 9}{\log_2 4}=\log_2 5+\frac{\log_2 9}{2}=\log_2 5+\frac{1}{2}\log_2 9=\\\\=\log_2 5 +\log_2 9^{\frac{1}{2}}=\log_2 5+\log_2 3=\log_2 (5\cdot 3)=\log_2 15[/tex]
b)
[tex]\log_5 4-\log_{125} 8=\log_5 4-\frac{\log_5 8}{\log_5 125}=\log_5 4-\frac{\log_5 8}{3}=\log_5 4-\frac{1}{3}\log_5 8=\\\\=\log_5 4-\log_5 8^{\frac{1}{3}}=\log_54-\log_5 2=\log_5\frac{4}{2}=\log_52[/tex]
c)
[tex]\log_{100}25-\log3+2=\frac{\log 25}{\log 100}-\log 3+\log 100=\frac{\log 25}{2}-\log 3+\log 100=\\\\=\frac{1}{2}\log 25-\log 3+\log 100=\log 25^{\frac{1}{2}}-\log 3+\log 100=\log 5-\log 3+\log 100=\\\\=\log\frac{5}{3}+\log 100= \log (\frac{5}{3}\cdot 100)=\log\frac{500}{3}[/tex]
d)
[tex]\log_8 27+\log_2 5-3=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}+\log_2 5-\log_2 8=\frac{\log_2 27}{3}+\log_2 5-\log_2 8=\\\\=\frac{1}{3}\log_2 27+\log_2 5-\log_2 8=\log_2 27^{\frac{1}{3}}+\log_2 5-\log_2 8=\\\\=\log_2 3+\log_2 5-\log_2 8=\log_2(3\cdot 5)-\log_2 8=\log_2 15-\log_2 8=\log_2\frac{15}{8}[/tex]
ZADANIE 4.
a)
[tex]\log_{\sqrt{2}} 27\cdot \log_9 16=\frac{\log_2 27}{\log_2 \sqrt{2}}\cdot \frac{\log_2 16}{\log_2 9}=\frac{\log_2 27}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{4}{\log_2 9}=\frac{4}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\log_2 27}{\log_2 9}=\\\\=4\cdot 2\cdot \log_9 27=8\cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 9}=8\cdot \frac{3}{2}=\frac{24}{2}=12[/tex]
b)
[tex]\log_3 5\cdot \log_4 9\cdot \log_5 2=\log_35\cdot \log_4 9\cdot\frac{\log_3 2}{\log_3 5}=\log_4 9\cdot \log_3 2= \log_4 9\cdot \frac{\log_4 2}{\log_4 3}=\\\\=\log_4 3^2\cdot\frac{\frac{1}{2}}{\log_4 3}=2\log_4 3\cdot \frac{\frac{1}{2}}{\log_4 3}=2\cdot \frac{1}{2}=1[/tex]
c)
[tex]\frac{\log_{\sqrt[3]{5} }2 \cdot \log_{\sqrt[3]{2} } 5 }{ \log_{\sqrt[3]{2} }7\cdot \log_{343} 8 }=\frac{\log_{\sqrt[3]{2} } 5 }{\log_{\sqrt[3]{2} } 7}\cdot \frac{\log_{\sqrt[3]{5} }2 }{\log_{343} 8 }=\log_7 5\cdot \frac{\log_{\sqrt[3]{5} }2 }{\log_{343} 8 }=\log_7 5\cdot \frac{ \log_{\sqrt[3]{5} }2 }{\frac{\log_7 8}{\log_7 343}} =[/tex]
[tex]=\log_7 5\cdot \frac{ \log_{\sqrt[3]{5} }2 }{\frac{\log_7 8}{3}} = \log_7 5\cdot \frac{ \log_{\sqrt[3]{5} }2 }{\frac{1}{3}\log_7 8} = \log_7 5\cdot \frac{ \log_{\sqrt[3]{5} }2 }{\log_7 8^{\frac{1}{3}}} = \frac{ \log_7 5 }{\log_7 2} \cdot\log_{\sqrt[3]{5} }2=\\\\=\log_2 5\cdot \log_{\sqrt[3]{5} }2 =\log_2 5\cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 \sqrt[3]{5} }= \log_2 5\cdot \frac{1}{\log_2 \sqrt[3]{5} }=\frac{\log_2 5}{\log_2 \sqrt[3]{5} }=\log_{ \sqrt[3]{5} } 5=3[/tex]
d)
[tex]\log_{\sqrt[3]{5} }2\cdot \log_{\sqrt[3]{2} }5=\frac{\log_{5}2}{\log_5 \sqrt[3]{5} }}\cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 \sqrt[3]{2} }=\frac{\log_5 2}{\frac{1}{3}}\cdot \frac{\log_2 5}{\frac{1}{3}}=\frac{\log_2 5\cdot \log_5 2}{\frac{1}{9}}=\\\\=9\cdot \frac{\log_5 5}{\log_5 2}\cdot \log_5 2=9\cdot \log_5 5=9\cdot 1=9[/tex]
*WZORY:
Znajomość definicji logarytmu oraz następujących wzorów (które są prawdziwe tylko przy pewnych założeniach):
[tex]\log_a(x\cdot y)=\log_ax+\log_a y[/tex]
[tex]\log_ax^r=r\log_a x[/tex]
[tex]\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay[/tex]
[tex]\log_bc=\frac{\log_a c}{\log_a b}[/tex]
Można je znaleźć w tablicach matematycznych.
