Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{10}}{11}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jako, że jest to kąt ostry, możemy rozwiązać to zadanie na dwa sposoby.
SPOSÓB 1:
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
Mamy
[tex]\cos\alpha=\dfrac{9}{11}[/tex]
Podstawiamy i rozwiązujemy równanie:
[tex]\sin^2\alpha+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2=1\\\\\sin^2\alpha+\dfrac{81}{121}=1\qquad|-\dfrac{81}{121}\\\\\sin^2\alpha=\dfrac{40}{121}\to \sin\alpha=\sqrt{\dfrac{40}{121}}\ \vee\ \sin\alpha=-\sqrt{\dfrac{40}{121}}\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{121}}=\dfrac{\sqrt{4\cdot10}}{11}=\dfrac{\sqrt4\cdot\sqrt{10}}{11}=\dfrac{2\sqrt{10}}{11}[/tex]
Wartość ujemną odrzucamy, ponieważ kąt jest kątem ostrym, a wszystkie funkcje przyjmują wartość dodatnią dla każdego kąta ostrego.
SPOSÓB 2:
Patrz załącznik.
Mamy
[tex]\cos\alpha=\dfrac{9}{11}\to b=9;\ c=11[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
[tex]a^2+9^2=11^2\\\\a^2+81=121\qquad|-81\\\\a^2=40\to a=\sqrt{40}\\\\a=\sqrt{4\cdot10}\\\\a=\sqrt4\cdot\sqrt{10}\\\\a=2\sqrt{10}[/tex]
[tex]\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\to\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{10}}{11}[/tex]
