Odpowiedź:
Na początek potrzebujemy rysunku pomocniczego. Rysujemy trójkąt ABC taki, że [tex]|AB|=3|AC|,\, |BC|=\frac{4}{5}|AB|[/tex]. Oznaczmy [tex]|AB|=c,\,|AC|=b,\,|BC|=a[/tex].
Widzimy, że [tex]c=3b\iff b=\frac{1}{3}c=\frac{c}{3}[/tex] oraz [tex]a=\frac{4}{5}c[/tex].
Szukamy cosinusa najmniejszego kąta trójkąta ABC. Najmniejszy kąt w trójkącie zawsze leży naprzeciwko najkrótszego boku. Na naszym rysunku będzie to kąt przy wierzchołku B (naprzeciwko boku [tex]b=\frac{1}{3}c[/tex]). Oznaczmy ten kąt β. Zatem nasza szukana to [tex]\cos\beta=\,\,?[/tex]
Mamy długości wszystkich trzech boków (wyrażone w relacji do długości boku c) i szukamy cosinusa jednego z kątów. Zastosujemy zatem twierdzenie cosinusów, z którego wynika wzór:
[tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta[/tex]
Podstawimy [tex]b=\frac{1}{3}c[/tex] i [tex]a=\frac{4}{5}c[/tex], a następnie wyznaczymy wartość [tex]\cos\beta[/tex]. Mamy
[tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\\left(\frac{1}{3}c\right)^2=\left(\frac{4}{5}c\right)^2+c^2-2\cdot\frac{4}{5}c\cdot c \cdot\cos\beta\\\frac{1}{9}c^2=\frac{16}{25}c^2+c^2-\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta[/tex]
Przenieśmy wyraz z [tex]c^2\cdot\cos\beta[/tex] na jedną stronę, a wyrazy z samym [tex]c^2[/tex] na drugą:
[tex]\frac{1}{9}c^2=\frac{16}{25}c^2+c^2-\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta\quad ||+\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta[/tex]
[tex]\frac{1}{9}c^2+\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{16}{25}c^2+c^2\quad ||-\frac{1}{9}c^2[/tex]
[tex]\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{16}{25}c^2+c^2-\frac{1}{9}c^2[/tex]
[tex]\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{144}{225}c^2+\frac{225}{225}c^2-\frac{25}{225}c^2[/tex]
[tex]\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{344}{225}c^2[/tex]
Zauważmy, że możemy podzielić obie strony przez [tex]\frac{8}{5}c^2[/tex], pozbywając się w ten sposób współczynnika przed [tex]\cos\beta[/tex]:
[tex]\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{344}{225}c^2\quad || : \frac{8}{5}c^2[/tex]
[tex]\cos\beta=\frac{344}{225}: \frac{8}{5}[/tex]
[tex]\cos\beta=\frac{344}{225}\cdot\frac{5}{8}[/tex]
[tex]\cos\beta=\frac{43}{45}[/tex]
Jako rozwiązanie mamy podać pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku, zatem zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
[tex]\cos\beta=\frac{43}{45}=0,95555\dots[/tex]
Widzimy, że wymagane w zadaniu cyfry to 9 5 5.
