Witaj :)
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą liczbę "r", zwaną różnicą ciągu arytmetycznego.
Wzór ogólny tego ciągu wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{a_n=a_1(n-1)r}[/tex]
Z treści zadania wiemy, że:
[tex]a_9=60\\a_{21}=0[/tex]
Możemy teraz zapisać zależność miedzy tymi wyrazami:
[tex]\Large \boxed{a_{21}=a_9+12r}[/tex]
Obliczmy różnicę tego ciągu:
[tex]0=60+12r\\60+12r=0\\12r=-60\ /:12\\\\\large \boxed{r=-5}[/tex]
Teraz, jeżeli znamy jego różnicę, korzystając z wyrazu 9-tego obliczmy wyraz 1-wszy:
[tex]a_9=a_1+8r\\60=a_1+8\cdot(-5)\\a_1-40=60\\a_1=60+40\\\\\Large \boxed{a_1=100}[/tex]
Przejdziemy teraz do obliczenia sumy dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu. Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego prezentuje się następująco:
[tex]\Large \boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}[/tex]
Dla 20 początkowych wyrazów wygląda on tak:
[tex]\Large \boxed{S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20}[/tex]
Potrzebujemy poznać wartość wyrazu dwudziestego. Obliczymy go korzystając z wyrazu dwudziestego pierwszego:
[tex]a_{21}=a_{20}+r\\0=a_{20}+(-5)\\a_{20}-5=0\\\\\Large \boxed{a_{20}=5}[/tex]
Podstawmy zatem wszystkie dane pod powyższy wzór na sumę:
[tex]\Large \boxed{S_{20}=\frac{100+5}{2}\cdot 20=105\cdot 10=1050}[/tex]
[tex]Odpowiedz.:\\\\\boxed{a_1=100}\\\\\boxed{r=-5}\\\\\boxed{S_{20}=1050}[/tex]