Odpowiedź:
W rozwiązaniu odwołuję się do oznaczeń z załączonego rysunku.
Wiemy, że trapez jest równoramienny i że jego ramiona (AD i BC) mają długość [tex]3\sqrt3\,\,\rm{cm}[/tex]. Wiemy też, że kąt ostry ma miarę 60° (u nas są to kąty przy wierzchołkach A i B). Wrysowujemy przekątną (BD), która jest prostopadła do ramienia (zatem kąt ADB ma miarę 90°).
Po naniesieniu na rysunek wszystkich informacji z zadania ustalmy, czego potrzebujemy.
Szukamy pola trapezu. Mamy wzór [tex]P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h[/tex], gdzie a i b to podstawy, a h to wysokość.
Oznaczmy [tex]a=|CD|,\,\,b=|AB|[/tex]. Potrzebujemy wysokości. Opuśćmy wysokość z punktu D na podstawę AB. Spodek wysokości oznaczmy jako E.
Przystępujemy do obliczeń.
1. trójkąt ABD
Mamy kąty o miarach 60° i 90°, zatem trzeci kąt (∡ABD) ma miarę
[tex]|\measuredangle ABD|=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}[/tex]
Zatem ABD jest trójkątem charakterystycznym o kątach 30°, 60°, 90°. Stąd wynikają szczególne zależności między bokami. Mianowicie:
[tex]|AB|=2|AD|=2\cdot3\sqrt3=6\sqrt3\\|BD|=\frac{|AB|\cdot\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=3\sqrt3\cdot\sqrt3=3\cdot3=9[/tex]
W ten sposób uzyskaliśmy długość dolnej podstawy: [tex]b=|AB|=6\sqrt3[/tex].
2. trójkąt BCD
Zauważmy, że [tex]|\measuredangle DBC|=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}[/tex].
Z własności trapezu wiemy, że kąty przy jednym ramieniu mają w sumę miar równą 180°. Przy prawym ramieniu naszego trapezu mamy zatem
[tex]|\measuredangle ABC| + |\measuredangle BCD|=180^{\circ}[/tex]
i wiemy, że [tex]|\measuredangle ABC|=60^{\circ}[/tex] (z treści zadania). Stąd
[tex]|\measuredangle BCD|=180^{\circ} - |\measuredangle ABC| = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}[/tex]
Wróćmy do trójkąta BCD. Mamy w nim kąty 30° i 120°. To oznacza, że [tex]|\measuredangle CDB| = 180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}[/tex]
Mamy dwa kąty o takiej samej mierze (30°), więc trójkąt BCD jest równoramienny. Ramiona równej długości znajdują się przy kątach o równej mierze, czyli u nas [tex]|CD|=|BC|=3\sqrt3[/tex]
Uzyskaliśmy w ten sposób długość górnej podstawy: [tex]a=|CD|=3\sqrt3[/tex]
3. wysokość (h)
Wysokość trapezu możemy obliczyć np. wykorzystując trójkąt BDE. Zauważmy, że [tex]|\measuredangle BDE|=60^{\circ}[/tex], bo pozostałe kąty w tym trójkącie mają miarę 30° i 90°. Zatem trójkąt BDE jest trójkątem charakterystycznym. Stąd mamy zależność
[tex]h=|DE|=\frac{1}{2}|BD|=\frac{1}{2}\cdot9=\frac{9}{2}[/tex]
Mamy już wszystkie elementy potrzebne do obliczenia pola trapezu ABCD.
[tex]P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(3\sqrt3+6\sqrt3\right)\cdot\frac{9}{2} = \frac{9}{4}\cdot9\sqrt3=\frac{81\sqrt3}{4}\,\,\rm{cm}[/tex]
