Odpowiedź:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup z kwadratem w podstawie.
Musimy zacząć od odpowiedniego zaznaczenia na rysunku kąta, o którym mowa w zadaniu. Jest to kąt, pod jakim nachylona jest krawędź boczna do podstawy ostrosłupa. Musimy zatem wrysować przekątne podstawy i nasz kąt będzie między krawędzią boczną a przekątną podstawy (na rysunku kąt α).
Szukamy objętości ostrosłupa - przypomnijmy wzór: [tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H[/tex], gdzie [tex]P_p[/tex] - pole podstawy, [tex]H[/tex] - wysokość ostrosłupa.
Wrysujmy zatem jeszcze wysokość - opada ona z wierzchołka S na punkt przecięcia przekątnych (P).
Wiemy, że [tex]\cos\alpha=0,75=\frac{3}{4}[/tex] oraz że przekątna podstawy ostrosłupa jest jest równa 12. Przekątne przecinają się w połowach swoich długości, stąd [tex]|AP|=12\cdot\frac{1}{2}=6[/tex]
Ograniczmy się do trójkąta APS. Jest to trójkąt prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku P.
Mamy [tex]\cos\alpha=\frac{3}{4}[/tex]. Wykorzystując definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym możemy zobaczyć, że
[tex]\cos\alpha=\frac{|AP|}{|AS|}[/tex]
Stąd
[tex]\frac{|AP|}{|AS|}=\frac{3}{4}\\\frac{6}{|AS|}=\frac{3}{4}\\6\cdot4=3\cdot |AS|\\24=3|AS|\\|AS|=8[/tex]
Pozostając w tym samym trójkącie, zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, żeby obliczyć wysokość H:
[tex]|AS|^2=|AP|^2+|SP|^2\\8^2=6^2+H^2\\H^2=8^2-6^2\\H^2=64-36\\H^2=28 \Rightarrow H=\sqrt{28}=2\sqrt7[/tex]
Mamy wysokość, potrzebujemy jeszcze pola podstawy. Wiemy, że przekątna podstawy (która jest kwadratem) ma długość 12. Mamy też wzór na długość przekątnej kwadratu [tex]d=a\sqrt2[/tex], gdzie a - bok kwadratu. Przekształćmy ten wzór tak, aby wyznaczyć z niego długość boku, znając przekątną:
[tex]d=a\sqrt2 \iff a=\frac{d}{\sqrt2}=\frac{d\sqrt2}{2}[/tex]
Podstawmy [tex]d=12[/tex]:
[tex]a=\frac{12\sqrt2}{2}=6\sqrt2[/tex]
Mamy krawędź podstawy, zatem obliczmy pole podstawy:
[tex]P_p=a^2=\left(6\sqrt2\right)^2=36\cdot2=72[/tex]
Podstawmy posiadane dane do wzoru na objętość:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot72\cdot2\sqrt7=\bold{48\sqrt7}[/tex]
