Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego określa wzór:
[tex]S=\dfrac{a_1}{1-q}[/tex]
I teraz. Z zadania wynika, że:
[tex]x=\dfrac{1}{1-\frac{1}{\sqrt3}}\\\\y=\dfrac{1}{1+\frac{1}{\sqrt3}}[/tex]
Mamy obliczyć: x-y
Zatem:
[tex]x-y=\dfrac{1}{1-\frac1{\sqrt3}}-\dfrac{1}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\dfrac{1}{1-\frac{\sqrt3}{3}}-\dfrac{1}{1+\frac{\sqrt3}{3}}=\\\\\\=\dfrac{1}{\frac{3-\sqrt3}{3}}-\dfrac{1}{\frac{3+\sqrt3}{3}}=\dfrac{3}{3-\sqrt3}-\dfrac{3}{3+\sqrt3}=\\\\\\-=\dfrac{3(3+\sqrt3)}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}-\dfrac{3(3-\sqrt3)}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\\\\\\=\dfrac{9+3\sqrt3}{9-3}-\dfrac{9-3\sqrt3}{9-3}=\\\\=\dfrac{9+3\sqrt3-9+3\sqrt3}{6}=\dfrac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3[/tex]
Liczba x-y wynosi [tex]\sqrt3[/tex]
