Rozwiązanie:
Niech [tex]z=x+yi=27[/tex]. Oczywiste jest, że:
[tex]x=27\\y=0[/tex]
Obliczamy moduł liczby [tex]z[/tex] :
[tex]|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=27[/tex]
Obliczamy argument:
[tex]$sin\varphi=\frac{y}{|z|} =0 \wedge cos \varphi =\frac{x}{|z|} =\frac{27}{27} =1 \Rightarrow \varphi=0[/tex]
Korzystając ze wzoru de Moivre'a mamy:
[tex]$z_{k}=\sqrt[3]{27} \Big(cos\Big(\frac{2k\pi }{3} \Big)+isin\Big(\frac{2k\pi }{3}\Big)\Big)[/tex] dla [tex]k \in \{0, 1, 2\}[/tex]
Zatem pierwiastki zespolone trzeciego stopnia liczby [tex]z[/tex] to:
[tex]$z_{0}=\sqrt[3]{27} \Big(cos(0)+isin(0)\Big)=3[/tex]
[tex]$z_{1}=\sqrt[3]{27}\Big(cos\Big(\frac{2\pi }{3} \Big)+isin\Big(\frac{2\pi }{3}\Big)\Big)=3\Big(-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} i\Big)=-\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} i[/tex]
[tex]$z_{2}=\sqrt[3]{27} \Big(cos\Big(\frac{4\pi }{3} \Big)+isin\Big(\frac{4\pi }{3}\Big)\Big)=3\Big(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i \Big)=-\frac{3}{2} -\frac{3\sqrt{3} }{2} i[/tex]
