Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{y=-3(x-1)^2+10}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku paraboli, która jest wykresem trójmianu kwadratowego.
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego [tex]y=ax^2+bx+c[/tex] :
[tex]y=a(x-p)^2+q\\\\p=\dfrac{-b}{2a};\ q=f(p)=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex]
Mamy:
[tex]y=ax^2+6x+7\\\\a=a;\ b=6;\ c=7\\\\q=10[/tex]
[tex]\Delta=6^2-4\cdot a\cdot7=36-28a\\\\q=\dfrac{-(36-28a)}{4a}=\dfrac{-36+28a}{4a}=\dfrac{7a-9}{a}[/tex]
Stąd mamy równanie:
[tex]\dfrac{7a-9}{a}=10\\\\\dfrac{7a-9}{a}=\dfrac{10}{1}[/tex] mnożymy na krzyż
[tex]10a=7a-9\qquad|-7a\\\\3a=-9\qquad|:3\\\\a=-3[/tex]
Nasz trójmian przyjmuje postać:
[tex]y=-3x^2+6x+7[/tex]
Obliczamy p :
[tex]p=\dfrac{-6}{2\cdot(-3)}=\dfrac{-6}{-6}=1[/tex]
Podstawiamy do postaci kanonicznej:
[tex]y=-3(x-1)^2+10[/tex]
