Odpowiedź:
[tex]$y=\frac{4}{x^{3}+4}=\frac{\sqrt[3]{4} }{3x+3\sqrt[3]{4} } +\frac{4\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4} x }{3x^{2}-3x\sqrt[3]{4}+6\sqrt[3]{2} }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$y=\frac{4}{x^{3}+4}[/tex]
Korzystając ze wzoru:
[tex]a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})[/tex]
Mamy:
[tex]$y=\frac{4}{x^{3}+4} =\frac{4}{(x+\sqrt[3]{4})(x^{2}-x\sqrt[3]{4} +2\sqrt[3]{2} )}[/tex]
Zatem:
[tex]$\frac{4}{(x+\sqrt[3]{4})(x^{2}-x\sqrt[3]{4} +2\sqrt[3]{2} )}=\frac{A}{x+\sqrt[3]{4}} +\frac{Bx+C}{x^{2}-x\sqrt[3]{4} +2\sqrt[3]{2} }[/tex]
[tex]4=Ax^{2}-Ax\sqrt[3]{4} +2A\sqrt[3]{2} +Bx^{2}+Cx+Bx\sqrt[3]{4} +C\sqrt[3]{4}[/tex]
[tex]4=x^{2}(A+B)+x(-A\sqrt[3]{4} +B\sqrt[3]{4} +C)+2A\sqrt[3]{2} +C\sqrt[3]{4}[/tex]
Stąd mamy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}A+B=0\\-A\sqrt[3]{4}+B\sqrt[3]{4}+C=0 \\2A\sqrt[3]{2}+C\sqrt[3]{4}=4 \end{array}\right[/tex]
Z pierwszego równania mamy [tex]B=-A[/tex]. Wstawiamy do [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}B\sqrt[3]{4}+B\sqrt[3]{4} +C=0 \\-2B\sqrt[3]{2}+C\sqrt[3]{4} =4 \end{array}\right[/tex]
Teraz z pierwszego równania mamy [tex]C=-2B\sqrt[3]{4}[/tex]. Wstawiamy:
[tex]-2B\sqrt[3]{2} -4B\sqrt[3]{2} =4[/tex]
[tex]-6B\sqrt[3]{2} =4[/tex]
[tex]$B=-\frac{4}{6\sqrt[3]{2} } =-\frac{4\sqrt[3]{4} }{12} =-\frac{\sqrt[3]{4} }{3}[/tex]
Zatem:
[tex]$C=-2 \cdot \Big(-\frac{\sqrt[3]{4} }{3} \Big) \cdot \sqrt[3]{4} =\frac{4\sqrt[3]{2} }{3}[/tex]
[tex]$A=\frac{\sqrt[3]{4} }{3}[/tex]
Zatem rozkład wygląda następująco:
[tex]$y=\frac{4}{x^{3}+4}=\frac{\sqrt[3]{4} }{3x+3\sqrt[3]{4} } +\frac{4\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}x }{3x^{2}-3x\sqrt[3]{4}+6\sqrt[3]{2} }[/tex]
Gdybyś potrzebował do całki:
[tex]$\int\limits{\frac{4}{x^{3}+4} } \, dx =[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt[3]{4} }{3} \ln |x+\sqrt[3]{4} |-\frac{\sqrt[3]{4} }{6} \ln |3x^{2}-3x \sqrt[3]{4}+6\sqrt[3]{2} |+\frac{\sqrt[3]{4} }{\sqrt{3} } \arctan \Big(\frac{\sqrt[3]{2}x-1 }{\sqrt{3} } \Big)+C[/tex]
