Rozwiązanie:
[tex]f(x)=|x|[/tex]
Sprawdzamy, czy funkcja jest rosnąca:
Niech [tex]x_{1}<x_{2}[/tex]. Wtedy mamy pokazać, że:
[tex]f(x_{1})<f(x_{2}) \iff |x_{1}|<|x_{2}|[/tex]
co nie jest prawdą dla każdego [tex]x_{1},x_{2} \in D_{f}[/tex]. Kontrprzykład:
[tex]x_{1}=-2\\x_{2}=1[/tex]
Wtedy zachodzi [tex]x_{1}<x_{2}[/tex], ale:
[tex]|x_{1}|=2\\|x_{2}|=1[/tex]
zatem [tex]|x_{1}|>|x_{2}| \iff f(x_{1})>f(x_{2})[/tex], czyli funkcja [tex]f[/tex] na pewno nie jest rosnąca.
Sprawdzamy, czy funkcja jest malejąca:
Niech [tex]x_{1}<x_{2}[/tex]. Wtedy mamy pokazać, że:
[tex]f(x_{1})>f(x_{2}) \iff |x_{1}|>|x_{2}|[/tex]
co nie jest prawdą dla każdego [tex]x_{1},x_{2} \in D_{f}[/tex]. Kontrprzykład:
[tex]x_{1}=-2\\x_{2}=3[/tex]
Wtedy zachodzi [tex]x_{1}<x_{2}[/tex], ale:
[tex]|x_{1}|=2\\|x_{2}|=3[/tex]
zatem [tex]|x_{1}|<|x_{2}| \iff f(x_{1})<f(x_{2})[/tex], czyli funkcja [tex]f[/tex] na pewno nie jest malejąca.
Funkcja [tex]f[/tex] nie jest też stała (co wynika z powyższych rozważań). To oznacza, że funkcja jest niemonotoniczna.