Rozwiązane

Liczby -2 i 4 są miejscami zerowymi funkcji f(x)=-1/2x²+bx+c.
a) Wyznacz współczynniki b i c, a następnie naszkicuj wykres funkcji f.
b) Dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji g(x)=x+2?



Odpowiedź :

123bodzio

Odpowiedź:

x₁ = - 2

x₂ =  4

f(x) = 1/2x² + bx  + c  = 1/2(x - x₁)(x - x₂) = 1/2(x  + 2)(x - 4) =

= 1/2(x² + 2x - 4x - 8) = 1/2(x² - 2x - 8)  = 1/2x² - x - 4

a)

a =1/2 , b =  - 1 , c = - 4

Dane do narysowania paraboli

a > 0 więc ramiona paraboli skierowane do góry

miejsca zerowe :

x₁ = -  2 , x₂ = 4

W - współrzędne wierzchołka paraboli = (p , q)

p =  - b/2a = 1 : (1/2 * 2) = 1  : 1 =  1

q = - Δ/4a

Δ = b² - 4ac = (- 1)² - 4 * 1/2 * (-  4) = 1 +  2  * 4  =  1 + 8 = 9

q = - Δ/4a = - 9/(1/2 * 4) = - 9/2 = - 4 1/2

W = ( 1 , - 4 1/2  )

y₀ -punkt przecięcia paraboli z osia OY = c = - 4

Wykres paraboli w załączniku

b)

Obliczamy punkty przecięcia paraboli z prostą g(x) = x + 2

1/2x² - x  - 4 = x + 2

1/2x² -x -x -  4 - 2 = 0

1/2x² -  2x  - 6 = 0

a = 1/2  , b  = - 2  , c = -  6

Δ = (- 2)² - 4 * 1/2 * (-  6) = 4 + 2 * 6 = 4  + 12  = 16

√Δ  =  √16  =  4

x₁ = (- b -  √Δ)/2a  = (2  - 4)/1 = - 2

x₂ = ( - b  + √Δ)/2a = (2 + 4)/1 =  6

Wykres w załączniku nr 2

x ∈ (- ∞ , - 2 ) ∪ ( 6 , + ∞ )