Odpowiedź:
[tex]x=-1[/tex]
[tex]$x=\frac{-1-\sqrt{7}\cdot\mathrm{i} }{4} $[/tex]
[tex]$x=\frac{-1+\sqrt{7}\cdot\mathrm{i} }{4} $[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozwiązanie sposób 1:
[tex]$f(x)=2x^3+3x^2+2x+1=(x+1)\cdot (2x^2+x+1)$[/tex]
czyli:
[tex]x+1=0 \Longrightarrow x=-1[/tex]
oraz
[tex]2x^2+x+1=0\\\\\Delta=1-4\cdot2\cdot1=-7\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{-7}=\sqrt{7} \cdot \mathrm{i}[/tex]
wtedy:
[tex]$x_1=\frac{-1-\sqrt{7}\cdot\mathrm{i} }{4} $[/tex]
[tex]$x_2=\frac{-1+\sqrt{7}\cdot\mathrm{i} }{4} $[/tex]
Rozwiązanie sposób 2:
Wzory Cardano:
[tex]$f(x)=2x^3+3x^2+2x+1$[/tex]
Współczynniki:
[tex]a=2\\b=3\\c=2\\d=1[/tex]
podstawiamy:
[tex]$t=x+\frac{b}{3a}=x+\frac{1}{2} $[/tex]
wtedy:
[tex]$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2} =\frac{1}{4} $[/tex]
[tex]$q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=\frac{1}{4} $[/tex]
Postać kanoniczna:
[tex]$t^3+pt+q=t^3+\frac{1}{4}t+\frac{1}{4}=0 $[/tex]
Wyróżnik:
[tex]$\Delta=\bigg(\frac{p}{3}\bigg)^3+\bigg(\frac{q}{2}\bigg)^2=\frac{7}{432}>0 $[/tex]
Istnieje więc tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste dane wzorem:
[tex]$t_1=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\Delta} } +\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\Delta} }=\frac{1}{2} $[/tex]
zatem:
[tex]$x_1=t_1-\frac{b}{3a}=-1 $[/tex]