Odpowiedź:
Nie zmieści się.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Musimy obliczyć objętość czworościanu foremnego w dm³,
ponieważ 1dm³ = 1litr.
Możemy użyć gotowego wzoru, jeżeli go znamy:
[tex]V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}[/tex]
lub obliczamy objętość na piechotę.
Ze wzoru:
[tex]a=1dm\\\\V=\dfrac{1^3\sqrt3}{12}=\dfrac{\sqrt3}{12}<\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}\ \text{bo}\ \sqrt3<3[/tex]
Na piechotę:
(patrz załącznik)
Wzór na objętość ostrosłupa:
[tex]V=\dfrac{1}{3}P_p\cdot H[/tex]
W podstawie mamy trójkąt równoboczny. Stąd:
[tex]P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\\\\P_p=\dfrac{1^2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{4}[/tex]
Brakuje nam wysokości bryły. Szukamy trójkąta prostokątnego (czerwony na rysunku).
Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\to h=\dfrac{1\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
Obliczamy 2/3 wysokości trójkąta równobocznego (wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1 : 2).
[tex]\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{3}[/tex]
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]H^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2=1^2\\\\H^2+\dfrac{3}{9}=1\\\\H^2+\dfrac{1}{3}=1\qquad|-\dfrac{1}{3}\\\\H^2=\dfrac{2}{3}\to H=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\\\\H=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\H=\dfrac{\sqrt6}{3}[/tex]
Obliczamy objętość:
[tex]V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}=\dfrac{\sqrt{18}}{36}=\dfrac{\sqrt{9\cdot2}}{36}=\dfrac{\sqrt9\cdot\sqrt2}{36}=\dfrac{3\sqrt2}{36}=\dfrac{\sqrt3}{12}\ (dm^3)[/tex]
[tex]\sqrt3<3[/tex]
stąd
[tex]\dfrac{\sqrt3}{12}<\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}[/tex]
