Odpowiedź:
Lewa i prawa strona przedstawionej równości są równe 10.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Istnieją tzw. wzory na podwójny pierwiastek kwadratowy. Otóż jeżeli [tex]a^2-b=c^2[/tex], gdzie [tex]c>0[/tex], to
[tex]\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt\frac{a-c}{2}[/tex]
i podobnie
[tex]\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}-\sqrt\frac{a-c}{2}[/tex].
Dzięki tym wzorom, [tex]\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{11+\sqrt{72}}=\sqrt\frac{11+7}{2}+\sqrt\frac{11-7}{2}=3+\sqrt{2}[/tex]
(tutaj [tex]a=11, b=72, a^2-b=121-72=49=7^2, c=7[/tex]), i podobnie
[tex]\sqrt{19-6\sqrt{2}}=\sqrt{19-\sqrt{72}}=\sqrt{18}-1=3\sqrt{2}-1[/tex].
Zatem wyrażenie po lewej stronie równości jest równe
[tex]L=3(3+\sqrt{2})-(3\sqrt{2}-1)=9+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+1=10=P,[/tex]
co należało wykazać.
