Odpowiedź:
[tex]$y(t)\approx g(t)=\bigg(\frac{19\cdot( \mathrm{e}^{-2t})^\frac{5}{2} }{6}-\frac{7\cdot \mathrm{e}^{(-2t)}}{6}\bigg)\cdot \sigma(t)$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
1) Wyznaczamy transmitancję
Wyrażenie poddajemy obustronnej transformacie Laplace'a i otrzymujemy:
[tex]$\bigg(2s^3+14s^2+20s\bigg)\cdot Y(s)=\bigg(4s^2+s\bigg)\cdot U(s)$[/tex]
więc nasza transmitancja to po uproszczeniu:
[tex]$G(s)=\frac{2s+\frac{1}{2} }{s^2+7s+10} $[/tex]
Rozkładamy na ułamki proste (nie będę już rozpisywał, sprawa jest oczywista)
[tex]$G(s)=\frac{19}{6\cdot \big(s+5\big)}-\frac{7}{6\cdot \big(s+2\big)} $[/tex]
2) Wyznaczamy charakterystykę impulsową (zakładamy zerowe warunki początkowe)
[tex]$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$[/tex]
czyli:
[tex]$g(t)=\bigg(\frac{19\cdot( \mathrm{e}^{-2t})^\frac{5}{2} }{6}-\frac{7\cdot \mathrm{e}^{(-2t)}}{6}\bigg)\cdot \sigma(t) $[/tex]
3) Odpowiedź układu na sygnał impulsowy
Należy przyjąć, że:
[tex]$y(t)\approx g(t)=\bigg(\frac{19\cdot( \mathrm{e}^{-2t})^\frac{5}{2} }{6}-\frac{7\cdot \mathrm{e}^{(-2t)}}{6}\bigg)\cdot \sigma(t)$[/tex]
4) MathWorks MATLAB
W celu wyznaczenia odpowiedzi impulsowej należy wklejać kolejno poniższe komendy w przestrzeni roboczej programu (Command Window):
s=tf('s') %wskazujemy operator Laplace'a
G=(2*s+1/2)/(s^2+7*s+10) %definiujemy transmitancje
impulse(G) %tworzymy charakterystyke impulsowa
Po wklejeniu otworzy się okno "Figure 1" z szukaną charakterystyką.
