Odpowiedź:
[tex]$y(t)=\bigg(-\frac{19\cdot( \mathrm{e}^{-2t})^\frac{5}{2} }{30}+\frac{7\cdot \mathrm{e}^{(-2t)}}{12}+\frac{1}{20} \bigg)\cdot \sigma(t)$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
1) Wyznaczamy transmitancję
Wyrażenie poddajemy obustronnej transformacie Laplace'a i otrzymujemy:
[tex]$\bigg(2s^3+14s^2+20s\bigg)\cdot Y(s)=\bigg(4s^2+s\bigg)\cdot U(s)$[/tex]
więc nasza transmitancja to po uproszczeniu:
[tex]$G(s)=\frac{2s+\frac{1}{2} }{s^2+7s+10} $[/tex]
2) Wyznaczamy odpowiedź układu na sygnał jednostkowy (zakładamy zerowe warunki początkowe)
[tex]$y(t)=\mathcal{L}^{-1}\bigg\{\frac{G(s)}{s} \bigg\}$[/tex]
Wyrażenie poddawane transformacie Laplace'a rozkładamy na ułamki proste:
[tex]$\frac{G(s)}{s}=-\frac{19}{30\cdot\big(s+5\big)}+\frac{7}{12\cdot \big(s+2\big)} +\frac{1}{20\cdot s} $[/tex]
czyli:
[tex]$y(t)=\bigg(-\frac{19\cdot( \mathrm{e}^{-2t})^\frac{5}{2} }{30}+\frac{7\cdot \mathrm{e}^{(-2t)}}{12}+\frac{1}{20} \bigg)\cdot \sigma(t)$[/tex]
3) MathWorks MATLAB
W celu wyznaczenia odpowiedzi skokowej należy wklejać kolejno poniższe komendy w przestrzeni roboczej programu (Command Window):
s=tf('s') %wskazujemy operator Laplace'a
G=(2*s+1/2)/(s^2+7*s+10) %definiujemy transmitancje
step(G) %tworzymy charakterystyke skokowa
Po wklejeniu otworzy się okno "Figure 1" z szukaną charakterystyką.
