Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{p=-3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=(1-p^2)x^2-2(p-1)x-2[/tex]
Aby zachodziły podane w zadaniu warunki muszą zachodzić zależności:
(1) ramiona paraboli skierowane w dół
(2) jedno miejsce zerowe
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}1-p^2<0&(1)\\\Delta=0&(2)\end{array}\right[/tex]
[tex](1)\\1-p^2<0\\1^2-p^2<0\\(1-p)(1+p)<0\\p=1;\ p=-1[/tex]
rozwiązanie odczytujemy z wykresu (patrz załącznik).
[tex]\boxed{p\in(-\infty;\ -1)\ \cup\ (1;\ \infty)}[/tex]
[tex](2)\\\Delta=\bigg[-2(p-1)\bigg]^2-4\cdot(1-p^2)\cdot(-2)\\\\=4(p^2-2p+1)+8(1-p^2)\\\\=4p^2-8p+4+8-8p^2\\\\=-4p^2-8p+12\\\\\Delta=0\iff-4p^2-8p+12=0\qquad|:(-4)\\\\p^2+2p-3=0\\\\p^2+3p-p-3=0\\\\p(p+3)-1(p+3)=0\\\\(p+3)(p-1)=0\iff p+3=0\ \vee\ p-1=0\\\\\boxed{p=-3\ \vee\ p=1}[/tex]
Z [tex](1)[/tex] i [tex](2)[/tex] mamy:
[tex]\boxed{p=-3}[/tex]
