Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a)\ P_c=(64\sqrt3+96)\pi\ cm^2}\\\boxed{b)\ P_c=\dfrac{32+64\sqrt3}{3}\pi\ cm^2}\\\boxed{c)\ P_c=\dfrac{32+64\sqrt{15}}{15}\pi\ cm^2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przekrój osiowy walca jest prostokątem (patrz załącznik).
Wzór na pole powierzchni całkowitej walca:
[tex]P_c=2\pi r(r+H)[/tex]
[tex]r[/tex] - promień podstawy
[tex]H[/tex] - wysokość walca
[tex]H=8cm[/tex] dla każdego podpunktu
[tex]a)\ \alpha=30^o[/tex]
Skorzystamy z funkcji trygonometrycznej, tangens:
[tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{H}{2r}\\\\\text{tg}30^o=\dfrac{\sqrt3}{3}\to\dfrac{8\!\!\!\!\diagup^4}{2\!\!\!\!\diagup_{1}r}=\dfrac{\sqrt3}{3}[/tex]
mnożymy na krzyż:
[tex]r\sqrt3=4\cdot3\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3r=12\sqrt3\qquad|:3\\\\r=4\sqrt3\ (cm)[/tex]
Podstawiamy:
[tex]P_c=2\pi\cdot4\sqrt3\cdot(8+4\sqrt3)=8\pi\sqrt3\cdot(8+4\sqrt3)=64\pi\sqrt3+32\pi\cdot3\\\\=64\pi\sqrt3+96\pi=(64\sqrt3+96)\pi\ (cm^2)[/tex]
[tex]b)\ \sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\\sin\alpha=\dfrac{H}{D}[/tex]
stąd mamy równanie:
[tex]\dfrac{8}{D}=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
mnożymy na krzyż:
[tex]D\sqrt3=8\cdot2\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3D=16\sqrt3\qquad|:3\\\\D=\dfrac{16\sqrt3}{3}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
[tex](2r)^2+H^2=D^2[/tex]
Podstawiamy dane i obliczamy r:
[tex]4r^2+8^2=\left(\dfrac{16\sqrt3}{3}\right)^2\\\\4r^2+64=\dfrac{256\cdot3}{9}\qquad|-64\\\\4r^2=\dfrac{768}{9}-\dfrac{64\cdot9}{9}[/tex]
[tex]4r^2=\dfrac{768-576}{9}\\\\4r^2=\dfrac{192}{9}\qquad|:4\\\\r^2=\dfrac{48}{9}\to r=\sqrt{\dfrac{48}{9}}\\\\r=\dfrac{\sqrt{16\cdot3}}{\sqrt9}\\\\r=\dfrac{4\sqrt3}{3}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca:
[tex]P_c=2\pi\cdot\dfrac{4\sqrt3}{3}\cdot\left(8+\dfrac{4\sqrt3}{3}\right)=\dfrac{8\pi\sqrt3}{3}\cdot\left(\dfrac{24}{3}+\dfrac{4\sqrt3}{3}\right)\\\\=\dfrac{8\pi\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{24+4\sqrt3}{3}=\dfrac{192\pi\sqrt3+96\pi}{9}=\dfrac{64\pi\sqrt3+32\pi}{3}\\\\=\dfrac{32+64\sqrt3}{3}\pi}\ (cm)[/tex]
[tex]c)\ \cos\alpha=\dfrac{1}{4}\\\\\cos\alpha=\dfrac{2r}{D}\\\\\dfrac{2r}{D}=\dfrac{1}{4}\to D=8r\ (*)[/tex]
z jedynki trygonometrycznej mamy:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\sin^2\alpha+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=1\\\\\sin^2\alpha+\dfrac{1}{16}=1\qquad|-\dfrac{1}{16}\\\\\sin^2\alpha=\dfrac{15}{16}\to \sin\alpha=\sqrt{\dfrac{15}{16}}\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{4}[/tex]
nie bierzemy pod uwagę sinusa ujemnego, ponieważ kąt α jest kątem ostrym.
[tex]\sin\alpha=\dfrac{H}{D}\\\\\dfrac{8}{D}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\\\\D\sqrt{15}=8\cdot4\qquad|\cdot\sqrt{15}\\\\15D=32\sqrt{15}\qquad|:15\\\\D=\dfrac{32\sqrt{15}}{15}[/tex]
Podstawiamy do [tex](*)[/tex]
[tex]8r=\dfrac{32\sqrt{15}}{15}\qquad|:8\\\\r=\dfrac{4\sqrt{15}}{15}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej.
[tex]P_c=2\pi\cdot\dfrac{4\sqrt{15}}{15}\cdot\left(8+\dfrac{4\sqrt{15}}{15}\right)=\dfrac{8\pi\sqrt{15}}{15}\cdot\left(\dfrac{8\cdot15}{15}+\dfrac{4\sqrt{15}}{15}\right)\\\\=\dfrac{8\pi\sqrt{15}}{15}\cdot\dfrac{120+4\sqrt{15}}{15}=\dfrac{960\sqrt{15}+480}{256}\pi=\dfrac{32+64\sqrt{15}}{15}\pi\ (cm^2)[/tex]
