Cześć!
[tex]\alpha = 13^{\circ}\\\\\beta=20^{\circ}[/tex]
W trójkącie [tex]\triangle AOB[/tex] odcinki [tex]AO[/tex] i [tex]BO[/tex] są promieniami tego okręgu, zatem mają równe miary, dzięki czemu wnioskujemy, że trójkąt [tex]\triangle AOB[/tex] jest równoramienny, bo [tex]|AO|=|BO|[/tex], zatem [tex]|\measuredangle OAB| =|\measuredangle OBA| = \alpha = 13^{\circ}[/tex]. Trzeci kąt tego trójkąta, czyli [tex]\measuredangle AOB[/tex] ma miarę równą [tex]180^{\circ} - 2 \cdot 13^{\circ} = 154^{\circ}[/tex]
Analogiczna sytuacja ma miejsce w trójkącie [tex]\triangle AOC[/tex], gdzie promieniami są odcinki [tex]AO[/tex] i [tex]CO[/tex], więc skoro są równe, to trójkąt jest równoramienny i [tex]|\measuredangle OAC| =|\measuredangle OCA| = \beta = 20^{\circ}[/tex]. Trzeci kąt tego trójkąta, czyli [tex]\measuredangle AOC[/tex] ma miarę równą [tex]180^{\circ} - 2 \cdot 20^{\circ} = 140^{\circ}[/tex]
- Podsumowując powyższe, miara kąta przy wierzchołku [tex]A[/tex] to suma miar kątów [tex]\measuredangle OAB[/tex] i [tex]\measuredangle OAC[/tex], czyli [tex]\alpha + \beta = 13^{\circ} + 20^{\circ} = 33^{\circ} = \measuredangle A[/tex]
Kąt przy wierzchołku [tex]O[/tex] jest kątem pełnym, na który składają się miary trzech kątów: [tex]\measuredangle AOC, \measuredangle AOB, \measuredangle COB[/tex]. Brakujący kąt, czyli [tex]\measuredangle COB[/tex], możemy łatwo wyliczyć, odejmując od [tex]360^{\circ}[/tex] miary kątów [tex]\measuredangle AOC[/tex] i [tex]\measuredangle AOB[/tex], zatem:
[tex]\measuredangle COB = 360^{\circ} - 154^{\circ} - 140^{\circ} = 66^{\circ}[/tex]
Trójkąt [tex]\triangle COB[/tex] jest również trójkątem równoramiennym, bo odcinki [tex]CO[/tex] i [tex]BO[/tex] są promieniami okręgu, więc są równe. Dzięki temu wnioskujemy, że kąty przy podstawie mają równe miary, które łatwo wyliczyć, wiedząc że suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°:
[tex]180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \\\\114^{\circ} : 2 = 57^{\circ} = |\measuredangle OCB| = |\measuredangle CBO|[/tex]
- Zbierając kolejne rozważania, kąt przy wierzchołku B jest sumą miar dwóch kątów: [tex]\measuredangle ABO[/tex] i [tex]\measuredangle CBO[/tex], zatem [tex]\measuredangle B = 13^{\circ} + 57^{\circ} = 70^{\circ}[/tex]
- Skoro wiemy, że [tex]\measuredangle A = 33^{\circ}[/tex] i [tex]\measuredangle B = 70^{\circ}[/tex], to koniecznym jest, by [tex]\measuredangle C = 180^{\circ}-\measuredangle A - \measuredangle B = 180^{\circ}-33^{\circ}-70^{\circ}=77^{\circ}[/tex]
Odpowiedź: [tex]\measuredangle A = 33^{\circ}; \measuredangle B = 70^{\circ}; \measuredangle C = 77^{\circ}[/tex]
Pozdrawiam!
