Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{1.\ 10\sqrt2}\\\boxed{2.\ 27-9\sqrt2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
1. Rozwijamy wyrażenia ze wzorów skróconego mnożenia: sześcian sumy (różnicy)
[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\\\(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex]
2. Stosujemy wzór skróconego mnożenia: suma sześcianów
[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]
a tu jeszcze wzory na kwadrat sumy (różnicy):
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
Rozwiążę jeden przykład jednym sposobem, a drugi drugim.
1.
[tex](\sqrt2-1)^3+(\sqrt2+1)^3\\\\=(\sqrt2)^3-3\cdot(\sqrt2)^2\cdot1+3\cdot\sqrt2\cdot1^2-1^3+(\sqrt2)^3+3\cdot(\sqrt2)^2\cdot1+3\cdot\sqrt2\cdot1^2+1^3[/tex]
Niektóre liczby zredukują się do zera
[tex]-3\cdot(\sqrt2)^2\cdot1\ i\ 3\cdot(\sqrt2)^2\cdot1\\\\-1^3\ i\ 1^3[/tex]
Zostaje nam
[tex]=2\sqrt2+3\sqrt2+2\sqrt2+3\sqrt2=10\sqrt2[/tex]
2.
[tex](\sqrt2+1)^3+(2-\sqrt2)^3\\\\=(\sqrt2+1+2-\sqrt2)\bigg[(\sqrt2+1)^2-(\sqrt2+1)(2-\sqrt2)+(2-\sqrt2)^2\bigg]\\\\=3\cdot\bigg[\left(\sqrt2\right)^2+2\cdot\sqrt2\cdot1+1^2-2\sqrt2+2-2+\sqrt2+2^2-2\cdot2\cdot\sqrt2+\left(\sqrt2\right)^2\bigg]\\\\=3\cdot(2+2\sqrt2+1-2\sqrt2+2-2+\sqrt2+4-4\sqrt2+2)\\\\=3\cdot(9-3\sqrt2)=27-9\sqrt2[/tex]
