Odpowiedź:
zad 23
b)
y = x² - 2x - 3
y = - 2x + 1
Obliczamy punkty przecięcia paraboli przez prostą
x² - 2x - 3 = - 2x + 1
x² - 2x + 2x - 3 - 1 = 0
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) =0
x - 2 = 0 ∨ x + 2 = 0
x = 2 ∨ x = - 2
y = - 2x + 1 = - 2 * 2 + 1 = - 4 + 1 = - 3 ∨ y = - 2x + 1 = - 2 * (- 2) + 1 =
= 4 + 1 = 5
Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne = ( 2 , - 3 )
Drugi punkt przecięcia ma współrzędne = ( - 2 , 5 )
Do narysowania paraboli potrzeba :
- miejsca zerowe
- współrzędne wierzchołka paraboli
- punkt przecięcia paraboli z osia OY
y = x² -2x - 3
miejsca zerowe
x² - 2x - 3 = 0
a = 1 , b = - 2 , c = - 3
Δ = b² - 4ac = (- 2)² - 4 * 1 * (- 3) =4 + 12 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (2 - 4)/2 = - 2/2 = - 1
x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (2 + 4)/2 = 6/2 = 3
Współrzędne wierzchołka paraboli
W = (p , q)
p = - b/2a = 2/2 = 1
q = - Δ/4a = - 16/4 = - 4
W = ( 1 , - 4)
Punkt przecięcia paraboli z osią OY = c = - 3
a > 0 więc ramiona paraboli skierowane do góry
Do narysowania prostej należy obliczyć dwa punkty należące do tej prostej
y = - 2x + 1
a - współczynnik kierunkowy prostej = - 2
b - wyraz wolny = 1
x₀ - punkt przecięcia prostej z osią OX = - b/a = - 1/(- 2) =1/2
y₀ - punkt przecięcia prostej z osią OY = b = 1
Rysujemy układ współrzędnych , obieramy odcinek jednostkowy i kreślimy parabolę i prostą . Punkty przecięcia są rozwiązaniem równania
Wykres w załączniku
zad 24
b)
f(x) = x² - 4x + 5 , przedział < - 1 , 1 >
a = 1 , b = - 4 , c = 5
Sprawdzamy , czy wierzchołek należy do przedziału
xw - współrzędna x wierzchołka = - b/2a = 4/2 = 2
Ponieważ wierzchołek nie należy do przedziału , więc:
f(- 1) = (- 1)² - 4 * (- 1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 wartość największa
f(1) = 1² - 4 * 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2 wartość najmniejsza
c)
f(x) = 2x² + 8x + 3 , przedział < - 3 , 1 >
Sprawdzamy , czy wierzchołek należy do przedziału
xw - współrzędna x wierzchołka = - b/2a = - 8/4 = - 2
Ponieważ wierzchołek należy do przedziału i a > 0 więc wartość funkcji w wierzchołku jest najmniejsza
f(- 2) = 2 * (- 2)² + 8 * (- 2) + 3 = 2 * 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 wartość
najmniejsza
f(- 3) = 2 *(- 3)² + 8 * (- 3) + 3 = 2 * 9 - 24 + 3 = 18 - 24 + 3 = - 3
f(1) = 2 * 1² + 8 * 1 + 3 = 2 + 8 + 3 = 13 wartość największa
