W zadaniu należy wskazać liczbę odwrotną do podanej.
Liczbą odwrotną do [tex]\frac{1 + \sqrt{3}}{2}[/tex] jest [tex]\boxed{\sqrt{3} - 1}[/tex].
Pamiętajmy, że jei mamy liczbę a, to liczba do niej odwrotna to [tex]\frac{1}{a}[/tex].
czyli:
[tex]a = \cfrac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex]
to wtedy liczba odwrotna to:
[tex]\cfrac{1}{a} = \cfrac{1}{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} = 1 \cdot \cfrac{2}{1 + \sqrt{3}}[/tex]
Pamiętajmy, że dzielenie to inaczej mnożenie przez odwrotność.
Możemy usunąć jeszcze niewymierność aby uzyskać bardziej przyjazną postać.
Pamiętajmy, że jeśli w mianowniku znajduję się suma dwóch czynników, aby usunąć niewymierność mnożymy przez ułamek gdzie w liczniku i mianowniku wpisujemy zamiast sumy - różnicę tych czynników.
Skorystamy również z wzoru, że:
[tex](a+b)(a-b) = a^2 - b^2[/tex]
oraz:
[tex](\sqrt{a})^2 = a[/tex]
Bazując na tej wiedzy - upraszaczamy i otrzymujemy:
[tex]\cfrac{1}{a} = \cfrac{2}{1 + \sqrt{3}} = \cfrac{2}{1 + \sqrt{3}} \cdot \cfrac{(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})} = \cfrac{2-2\sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} =\\\\\\ = \cfrac{2-2\sqrt{3}}{1-3} = \cfrac{2-2\sqrt{3}}{-2} = -1 +\sqrt{3} = \sqrt{3}-1[/tex]