Rozwiązanie:
[tex]$2^{n}>n^{2}[/tex]
[tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
Najpierw stwierdzamy, że ta nierówność jest prawdziwa dla [tex]n=1[/tex] oraz nieprawdziwa dla [tex]n =2[/tex], [tex]n=3[/tex] i [tex]n=4[/tex]. Dla [tex]n=5[/tex] mamy:
[tex]2^{5}=32>5^{2}=25[/tex]
co jest prawdą.
Założenie:
[tex]2^{n}>n^{2} \ \ \forall \ n \geq 5[/tex]
Teza:
[tex]2^{n+1}>(n+1)^{2} \ \ \forall \ n \geq 5[/tex]
Dowód:
Z założenia mamy:
[tex]2^{n+1}=2 \cdot 2^{n}>2n^{2}[/tex]
Teraz pokażemy jeszcze, że:
[tex]2n^{2}>(n+1)^{2}\\2n^{2}>n^{2}+2n+1\\n^{2}-2n-1>0\\n^{2}-2n+1-2>0\\(n-1)^{2}>2[/tex]
co jest oczywiście prawdziwe dla [tex]n\geq 5[/tex], gdyż wtedy [tex]n-1\geq 4[/tex]. Zatem mamy:
[tex]2^{n+1}>2n^{2}>(n+1)^{2} \Rightarrow 2^{n+1}>(n+1)^{2}[/tex]
co kończy dowód.
