Odpowiedź
Dany jest trójkąt prostokątny. Jeden z jego kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 6√3. Oblicz pole tego trójkąta.
Pole powierzchni tego trójkąta wynosi [tex]\dfrac { ~27 \sqrt{3} ~} 2[/tex] .
Szczegółowe wyjaśnienie
Z właściwości funkcji cosinus
[tex]cos \, 30\textdegree = \dfrac {\sqrt{3}} 2\\\\\\c = 6 \sqrt 3\\\\\\\dfrac a c = cos \, 30\textdegree ~ \rightarrow ~ a = c \cdot cos \, 30\textdegree ~ \rightarrow ~ a = 9[/tex]
Z właściwości funkcji sinus
[tex]sin \, 30\textdegree = \dfrac 1 2\\\\\\c = 6 \sqrt 3\\\\\\\dfrac b c = sin \, 30\textdegree ~ \rightarrow ~ b = c \cdot sin \, 30\textdegree ~ \rightarrow ~ b = 3 \sqrt 3[/tex]
Pole powierzchni tego trójkąta wynosi [tex]\dfrac { ~27 \sqrt{3} ~} 2[/tex]
ponieważ
[tex]\text{Pole} = \displaystyle \dfrac {\,1\,} 2 \cdot a \cdot b = \dfrac {\,1\,} 2 \cdot 9 \cdot 3 \sqrt 3 = \dfrac { ~27 \sqrt{3} ~} 2[/tex]
Sprawdzenie czy rzeczywiście
[tex]a^2 + b^2 = c^2\\\\9^2 + (3 \sqrt 3)^2 = (6 \sqrt 3)^2\\\\81 + 9 \cdot 3 = 36 \cdot 3\\\\9 \cdot ( 9 + 3 ) = 36 \cdot 3\\\\9 \cdot 12 = 36 \cdot 3\\\\9 \cdot 4 \cdot 3 = 36 \cdot 3\\\\36 \cdot 3 = 36 \cdot 3[/tex]
