Odpowiedź:
Funkcja jest ciągła, gdyż jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (nie ma punktów nieciągłości).
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\frac{2x}{2-e^{\frac{1}{x-2} }}[/tex]
Dziedzina:
[tex]2-e^{\frac{1}{x-2} }\neq 0[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{x-2} }\neq 2[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{x-2} }\neq e^{\ln2}[/tex]
[tex]$\frac{1}{x-2} \neq \ln 2[/tex]
[tex]1\neq x\ln2-2\ln2[/tex]
[tex]x\ln2\neq 1+\ln4[/tex]
[tex]x\neq \frac{1+\ln4}{\ln2}[/tex]
[tex]x-2\neq 0 \iff x\neq 2[/tex]
Możemy zbadać granice na krańcach przedziałów, w których funkcja jest określona:
[tex]$ \lim_{x \to 2^{-}} f(x)=\lim_{x \to 2^{-}} \frac{2x}{2-e^{\frac{1}{x-2} }} =\Big[\frac{4}{2-e^{\frac{1}{0^{-}}} } \Big]=\Big[\frac{4}{2-e^{-\infty}} \Big]=2[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x)= \lim_{x \to 2^{+}}\frac{2x}{2-e^{\frac{1}{x-2} }} =\Big[\frac{4}{2-e^{\frac{1}{0^{+}} }} \Big]=\Big[\frac{4}{2-e^{\infty}} \Big]=0[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \frac{1+\ln4}{\ln2}^{-}} f(x)= \lim_{x \to -\frac{1+\ln4}{\ln2}^{-}} \frac{2x}{2-e^{\frac{1}{x-2} }} =-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \frac{1+\ln4}{\ln2}^{+}} f(x)= \lim_{x \to -\frac{1+\ln4}{\ln2}^{+}} \frac{2x}{2-e^{\frac{1}{x-2} }} =\infty[/tex]
lecz to tylko mówi nam, jak zachowuje się wykres funkcji w sąsiedztwie wybranych punktów. Nie możemy mówić tutaj o ciągłości, gdyż punkty te nie należą do dziedziny funkcji.