Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P_c=150dm^2}\\\boxed{V=125dm^3}\\\boxed{D=5\sqrt3\ dm}\\\boxed{\alpha\approx35^o}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy daną długość krawędzi sześcianu
[tex]a=5dm[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej oraz objętość sześcianu:
[tex]P_c=6a^2\\\\P_c=6\cdot5^2=6\cdot25=150(dm^2)\\\\\\V=a^3\\\\V=5^3=125(dm^3)[/tex]
Teraz zajmiemy się przekątną sześcianu.
Możemy skorzystać z gotowego wzoru: [tex]D=a\sqrt3[/tex] lub wyprowadzić ten wzór (patrz załącznik).
Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych [tex]a[/tex] i [tex]d=a\sqrt2[/tex] oraz przeciwprostokątnej D.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2+(a\sqrt2)^2=D^2\\\\D^2=a^2+2a^2\\\\D^2=3a^2\to D=\sqrt{3a^2}\\\\D=a\sqrt3[/tex]
W naszym przypadku przekątna sześcianu ma długość:
[tex]D=5\sqrt3\ dm[/tex]
Teraz określimy miarę ([tex]\alpha[/tex]) kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy.
Skorzystamy z funkcji trygonometrycznej:
[tex]\sin\alpha=\dfrac{a}{D}\\\\\sin\alpha=\dfrac{5}{5\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\approx0,5774[/tex]
Wartość kąta odczytujemy z tablic (patrz załącznik)
Stąd [tex]\alpha\approx35^o[/tex]
