Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{V=54\sqrt3\ cm^3}\\\boxed{P_c=(72+27\sqrt3)cm^2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wzór na objętość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]H[/tex] - wysokość graniastosłupa
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
[tex]P_c=2P_p+P_b[/tex]
[tex]P_[/tex] - pole podstawy
[tex]P_b[/tex] - pole powierzchni bocznej graniastosłupa
W podstawie mamy sześciokąt foremny (graniastosłup prawidłowy).
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na przystające trójkąty równoboczne o boku równym długości boku sześciokąta.
Stąd mamy wzór:
[tex]P_p=6\!\!\!\!\diagup^3\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4\!\!\!\!\diagup_2}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]a[/tex] - długość boku sześciokąta foremnego
Podstawiamy [tex]a=3cm[/tex]
[tex]P_p=\dfrac{3\cdot3^2\sqrt3}{2}=\dfrac{27\sqrt3}{2}(cm^2)[/tex]
Brakuje nam wysokości graniastosłupa. Mamy daną przekątną ściany bocznej ([tex]d[/tex]), która dzieli nam ścianę (prostokąt) na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych [tex]a[/tex] i [tex]H[/tex] oraz przeciwprostokątnej [tex]d[/tex].
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2+H^2=d^2[/tex]
Podstawiamy długości i rozwiązujemy równanie:
[tex]3^2+H^2=5^2\\\\9+H^2=25\qquad|-9\\\\H^2=16\to H=\sqrt{16}\\\\H=4(cm)[/tex]
Obliczamy objętość i pole powierzchni całkowitej:
[tex]V=\dfrac{27\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}\cdot4\!\!\!\!\diagup^2=54\sqrt3(cm^3)[/tex]
[tex]P_b=6aH\\\\P_b=6\cdot3\cdot4=72(cm^2)\\\\P_c=2\!\!\!\!\diagup\cdot\dfrac{27\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup}+72=(72+27\sqrt3)(cm^2)[/tex]