Pyza34
Rozwiązane

Wykaż, że wyrażenie [tex]113^{4} - 3 * 113^{2} - 4[/tex] jest podzielne przez 25



Odpowiedź :

Animaldk

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]113^4-3\cdot113^2-4=(113^2)^2-3\cdot113^2-4\qquad(*)[/tex]

wykonajmy podstawienie:

[tex]113^2=t>0\\\\t^2-3t-4=t^2+t-4t-4=t(t+1)-4(t+1)=(t+1)(t-4)[/tex]

Wracamy do podstawienia:

[tex](*)\qquad(113^2+1)(113^2-4)=(113^2+1)(113^2-2^2)[/tex]

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\\\(*)\qquad=(113^2+1)(113-2)(113+2)=(113^2+1)\cdot111\cdot115[/tex]

Cecha podzielności przez 5:

Cyfra w rzędzie jedności (ostatnia cyfra) to 0 lub 5.

Liczba 115 jest podzielna przez 5 oraz liczba [tex]113^2+1[/tex] jest też podzielna przez 5, ponieważ [tex]113^3[/tex] daje nam w rzędzie jedności cyfrę 9 i po dodaniu 1 otrzymujemy cyfrę 0.

Stąd:

[tex](113^2+1)=5x[/tex]

x- jakaś liczba

[tex]115=5\cdot23[/tex]

Zatem:

[tex]113^4-3\cdot113^2-4=5x\cdot5\cdot23\cdot111=(5\cdot5)x\cdot23\cdot111=25\cdot(x\cdot23\cdot111)[/tex]

W iloczynie występuje liczba 25, czyli cała liczba jest podzielna przez 25.

                                                                          [tex]\blacksquare[/tex]

Marsuw

Odpowiedź:

[tex]113^2=x>0\\x^2-3x-4=0\\x^2-4x+x-4=0\\x(x+1)-4(x+1)=0\\(x+1)(x-4)=0\\[/tex]

Wracamy do pierwotnych wartości

[tex](113^2+1)(113^2-2^2)\\(113^2+1)(113+2)(113-2)=(113^2+1)*115*111\\[/tex]

Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli cyfra w rzędzie jedności ma 0 lub 5

Liczba 115 jest podzielna przez5, a także liczba 113²+1 jest też podzielna przez 5, ponieważ 113²daje jedność 9i po dodaniu 1 otrzymujemy cyfrę 0

A więc:

(113²+1)=5*a

gdzie a to jakaś liczba

115=5*23

A więc:

113^4-3*113^2-4=5*a-111*5*23=(5*5)*a*23*111=25*(a*23*111)

Co dowodzi, że cała liczba jest podzielna przez 25

Szczegółowe wyjaśnienie:

Inne Pytanie