Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex] \ [tex]\{1\}[/tex]
Okresowość:
Funkcja nie jest okresowa.
Parzystość:
[tex]$f(-x)=\frac{-x^{3}}{-x-1} =\frac{x^{3}}{x+1} \neq f(x)[/tex]
Funkcja nie jest parzysta.
[tex]$-f(-x)=-\frac{x^{3}}{x+1}\neq f(x)[/tex]
Funkcja nie jest nieparzysta.
Punkty przecięcia z osiami:
Z [tex]OX[/tex] :
[tex]$f(x)=0 \iff x=0[/tex]
[tex]P=(0,0)[/tex]
Z [tex]OY[/tex] :
[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]P=(0,0)[/tex]
Granice funkcji:
[tex]$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}\frac{x^{3}}{x-1} =\Big[\frac{1}{0^{-}} \Big]=-\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}\frac{x^{3}}{x-1} =\Big[\frac{1}{0^{+}} \Big]=\infty[/tex]
Zatem prosta [tex]x=1[/tex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji [tex]f[/tex].
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{x-1} = \lim_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{x\Big(1-\frac{1}{x} \Big)} =\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x-1} =\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x \Big(1-\frac{1}{x} \Big)} =\infty[/tex]
Brak asymptot poziomych.
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}-x} =\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}\Big(1-\frac{1}{x} \Big)} =-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x^{2}-x} =\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x^{2}\Big(1-\frac{1}{x} \Big)} =\infty[/tex]
Brak asymptot ukośnych.
Punkty przegięcia:
[tex]$f'(x)=\frac{3x^{2}(x-1)-x^{3}}{(x-1)^{2}} =\frac{2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}[/tex]
[tex]$f''(x)=\frac{(6x^{2}-6x)(x-1)^{2}-2(x-1)(2x^{3}-3x^{2})}{(x-1)^{4}}[/tex]
[tex]$f''(x)=0 \iff \frac{(6x^{2}-6x)(x-1)^{2}-2(x-1)(2x^{3}-3x^{2})}{(x-1)^{4}}=0[/tex]
Ponieważ [tex]D_{f}=D_{f'}=D_{f''}[/tex], to [tex]$(x-1)^{4}>0 \ \forall \ x\in D_{f''}[/tex], więc równanie jest równoważne równaniu:
[tex](6x^{2}-6x)(x-1)^{2}-2(x-1)(2x^{3}-3x^{2})=0[/tex]
[tex](x-1)((6x^{2}-6x)(x-1)-2(2x^{3}-3x^{2}))=0[/tex]
[tex](6x^{2}-6x)(x-1)-2(2x^{3}-3x^{2})=0[/tex]
[tex]x((6x-6)(x-1)-2(2x^{2}-3x))=0[/tex]
[tex]x=0 \vee (6x-6)(x-1)-2(2x^{2}-3x)=0[/tex]
[tex]6x^{2}-6x-6x+6-4x^{2}+6x=0[/tex]
[tex]2x^{2}-6x+6=0[/tex]
[tex]x^{2}-3x+3=0[/tex]
[tex]\Delta=9-4 \cdot 1 \cdot 3<0 \Rightarrow x^{2}-3x+3>0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}[/tex]
Zatem [tex]f''(x)=0 \iff x=0[/tex]. Na podstawie pierwszej pochodnej funkcji [tex]f[/tex] łatwo stwierdzamy, że przy przejściu przez punkt [tex]x=0[/tex] druga pochodna zmienia znak, a zatem punkt ten jest punktem przegięcia wykresu funkcji [tex]f[/tex].
Wypukłość:
Na podstawie powyższych rozważań łatwo stwierdzamy, że:
[tex]f''(x)>0 \iff x \in (-\infty,0) \cup (1,\infty)[/tex]
Na tym przedziale funkcja jest wypukła.
