Odpowiedź:
[tex]det(A)=-216[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Macierz:
[tex]A=\left|\begin{array}{cccc}1&2&5&4\\3&-3&-6&6\\1&-2&-3&4\\3&5&-1&2\end{array}\right|[/tex]
Zaczynamy od wspomnianego wyzerowania. Operacje jakie będziemy wykonywali to:
[tex]-2w_{3}+w_{2} \rightarrow -3w_{4}+w_{3} \rightarrow 5w_{4}+w_{1}[/tex]
Kolejne macierze to:
[tex]A=\left|\begin{array}{cccc}1&2&5&4\\3&-3&-6&6\\1&-2&-3&4\\3&5&-1&2\end{array}\right| \rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1&2&5&4\\1&1&0&-2\\1&-2&-3&4\\3&5&-1&2\end{array}\right| \rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1&2&5&4\\1&1&0&-2\\-8&-17&0&-2\\3&5&-1&2\end{array}\right| \rightarrow[/tex]
[tex]\rightarrow \left|\begin{array}{cccc}16&27&0&14\\1&1&0&-2\\-8&-17&0&-2\\3&5&-1&2\end{array}\right|[/tex]
Zauważmy, że w rozwinięciu Laplace'a dla elementów [tex]a_{13},a_{23}[/tex] i [tex]a_{33}[/tex] dzięki temu przekształceniu dostaniemy zera, więc pomijam już liczenie wyznaczników względem tych elementów.
Mamy:
[tex]\left|\begin{array}{cccc}16&27&0&14\\1&1&0&-2\\-8&-17&0&-2\\3&5&-1&2\end{array}\right|=(-1) \cdot (-1)^{4+3} \cdot \left|\begin{array}{ccc}16&27&14\\1&1&-2\\-8&-17&-2\end{array}\right|=[/tex]
[tex]= \left|\begin{array}{ccc}16&27&14\\1&1&-2\\-8&-17&-2\end{array}\right|[/tex]
Można kontynuować rozwinięciem Laplace'a, ale korzystniej będzie zastosować regułę Sarrusa:
[tex]\left|\begin{array}{ccc}16&27&14\\1&1&-2\\-8&-17&-2\end{array}\right|=(-32+432-238)-(-112+544-54)=162-378=-216[/tex]
