Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a)\ P_\triangle=420cm^2}\\\boxed{b)\ R=65cm}\\\boxed{c)\ \sin\alpha=\dfrac{5}{13}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz załącznik.
a) Skorzystamy ze wzoru Herona:
[tex]P_\triangle=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
[tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex]
[tex]a,\ b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
Podstawiamy:
[tex]a=25cm,\ b=39cm,\ c=56cm\\\\p=\dfrac{25+39+56}{2}=\dfrac{120}{2}=60\\\\P_\triangle=\sqrt{60\cdot(60-25)\cdot(60-39)\cdot(60-56)}\\\\P_\triangle=\sqrt{60\cdot35\cdot21\cdot4}\\\\P_\triangle=\sqrt{4\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot3\cdot7\cdot4}\\\\P_\triangle=\sqrt{4^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^2}\\\\P_\triangle=4\cdot3\cdot5\cdot7\\\\P_\triangle=420(cm^2)[/tex]
b) Skorzystamy ze wzoru:
[tex]R=\dfrac{abc}{4P_\triangle}[/tex]
podstawiamy
[tex]R=\dfrac{25\cdot39\cdot56}{2\cdot420}=65(cm)[/tex]
c) Najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku.
Skorzystamy ze wzoru:
[tex]P_\triangle=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha[/tex]
podstawiamy
[tex]420=\dfrac{1}{2}\cdot39\cdot56\cdot\sin\alpha\\\\420=1092\sin\alpha\qquad|:1092\\\\\sin\alpha=\dfrac{420}{1092}\\\\\sin\alpha=\dfrac{5}{13}[/tex]
