Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+2}}{x^2+3x-2}=\dfrac{\sqrt{1+2}}{1^2+3\cdot1-2}=\dfrac{\sqrt3}{1+3-2}=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
możemy podstawić [tex]x=1[/tex]. W mianowniku nie otrzymujemy zera.
[tex]\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\cdot\dfrac{\left(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2+\sqrt[3]{x+1}\cdot1+1^2\right)}{\left(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2+\sqrt[3]{x+1}\cdot1+1^2\right)}\\\\\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3-1^3}{x\left(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+1-1}{x\left(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}[/tex]
[tex]=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\!\!\!\!\diagup}{x\!\!\!\!\diagup\left(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{0+1}\right)^2+\sqrt[3]{0+1}+1}\\\\=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]1\right)^2+\sqrt[3]1+1}=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
po podstawieniu [tex]x=0[/tex] w mianowniku otrzymujemy 0. Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{\arcsin(x+2)}{x^2+2x}\to\left[\dfrac{0}{0}\right]\xrightarrow{de\ l'Hospital}\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{\left(\arcsin(x+2)\right)'}{\left(x^2+2x\right)'}\\\\=\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-(x+2)^2}}}{2x+2}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-(-2+2)^2}}}{2\cdot(-2)+2}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt1}}{-4+2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}[/tex]
po podstawieniu [tex]x=-2[/tex] otrzymujemy symbol nieoznaczony, stąd reguła de l'Hospitala
[tex]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\text{tg}x=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x\cdot\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x}=(*)\\\\\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x=\sin\dfrac{\pi}{2}=1[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x}\to\left[\dfrac{0}{0}\right]\xrightarrow{de\ l'Hospital}\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)'}{(\cos x)'}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{-\sin x}\\=\dfrac{1}{-\sin\frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{-1}=-1\\\\(*)=1\cdot(-1)=-1[/tex]
