[tex]U(r)=\frac{a}{r^5}-\frac{b}{r}[/tex]
Warunek równowagi to minimum potencjału
[tex]\nabla\cdot U(r)=0\\\nabla\cdot U(r)=-5\frac{a}{r^6}+\frac{b}{r^2}=0\\-5a+br^4=0\\r=\sqrt[4]{\frac{5a}{b}}\\r_0=\sqrt[4]{\frac{5\cdot1.5Jm^5}{2Jm}}\approx1.39m[/tex]
W celu znalezienia częstotliwości drgań należy założyć, że zmiana odległości między jonami jest niewielka w porównaniu z r0. Wtedy możemy zrobić przybliżenie harmoniczne:
[tex]F(r)=-\nabla\cdot U(r)=\frac{5a}{r^6}-\frac{b}{r^2}\\F(r)\approx F(r_0)+\frac{\partial F}{\partial r}(r-r_0)\\F(r)\approx-(\frac{30a}{r_0^7}-\frac{2b}{r_0^3})(r-r_0)=-k(r-r_0)[/tex]
gdzie wykorzystałem własność F(r_0)=0, bo r_0 jest położeniem równowagi
Częstość drgań, w tej sytuacji to będzie:
[tex]\omega_0=\sqrt{\frac{2k}{m}}\\\nu_0=\frac{\omega_0}{2\pi}\approx0.388Hz[/tex]
dwójka pod pierwiastkiem wynika z tego, że rozważamy ruch dwóch jonów i wtedy zamiast masy jest masa zredukowana:
[tex]m_r=\frac{m^2}{2m}=\frac{m}{2}[/tex]
Oczywiście to przybliżenie działa dobrze tylko dla niewielkich oscylacji względem r_0. W innym wypadku ruch odbywa się z wieloma częstościami.
pozdrawiam