Odpowiedź:
Dwa ciągi: an'' = 1•3^(n-1) oraz an''' = (- 27)•(1/3)^(n - 1)
gdzie q' = 1 ponieważ byłby to wtedy ciąg stały, który nie odpowiada warunkom zadania.
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q,
utworzymy kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1
a2 = (a1)•q
a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²
a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³
a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴, (- z tych kilku wyrazów ciągu można już zauważyć
........................................... zależność na ogólny wyraz ciągu):
an = (a1)•q^(n-1), (an = a1 razy q do potęgi (n-1), a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć równania (układ równań) czytając treść zadania:
a4 - a1 = 26,
a3 - a2 = 6 to korzystając z wyżej utworzonych kolejnych
wyrazów ciągu mamy:
(a1)•q³ - a1 = 26 a1(q³ - 1) = 26
(a1)•q² - (a1)•q = 6 a1(q² - q) = 6
to a1 = 26/(q³ - 1) = 6/(q² - q) to (q³ - 1)/26 =(q² - q)/6
(q³ - 1)/26 = (q² - q)/6 /•(6•26) [obie strony równania mnożymy przez 6•26]
to 6•(q³ - 1) = 26•(q² - q) to 6q³ - 6 = 26q² - 26q
to 6q³ - 26q² + 26q - 6 = 0 to z wyrazu wolnego szybko znajdziemy
q' = 1 to (6q³ - 26q² + 26q - 6) : (q - 1) = 6q² - 20q + 6 = 0 to po rozwiązaniu tego równania mamy postać iloczynową
f(q) = (q - 1)(q - 1/3)(q - 3) = 0 to q' = 1, odpada, ponieważ wtedy byłby to ciąg stały, q''' = 1/3, q'' = 3
Podstawiamy do równania wyjściowego a1(q² - q) = 6 mamy:
a1(9 - 3) = 6 to a1'' = 6/6 = 1 oraz a1(1/9 - 1/3) = a1(1/9 - 3/9) =
= (- 2/9) • a1 = 6 to a1 = 6 : (- 2/9) to a1''' = 6 • (- 9/2) = - 27 a więc
mamy dwa ciągi:
an'' = 1•3^(n-1) oraz an''' = (- 27)•(1/3)^(n - 1)