Odpowiedź:
Wyraz pierwszy ciągu: a1 = 3 (a ze znaczkiem 1 równa się 3)
Iloraz tego ciągu: q = 2
Wyraz ogólny tego ciągu an = (a1)•q^(n-1), (an = a1 razy q do potęgi (n-1)
gdzie an, oznacza a ze znaczkiem n,
a1 oznacza a ze znaczkiem 1.
Szczegółowe wyjaśnienie:
a3 = 12 i a7 = 192
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1
a2 = (a1)•q
a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²
a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³
a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴, (- z tych kilku wyrazów ciągu można już zauważyć
........................................... zależność na ogólny wyraz ciągu):
an = (a1)•q^(n-1), an = a1 razy q do potęgi (n-1), a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć równania (układ równań) czytając treść zadania:
a3 = (a1)•q² = 12
a7 = (a1)•q^6 = 192 (a7 = a1 razy q do potęgi szóstej)
------------------------------
Możemy zauważyć, że "coś się nam uprości", jak drugie równanie podzielimy przez pierwsze równanie, to
(a7):(a3) = (a7)/(a3) = (a1)•q^6/(a1)•q² = 192/12 = 16 to (z licznika ułamka a1 podzielimy na a1 z mianownika ułamka, a1/a1, a więc a1 się skraca. Zostało: q^6/q² = q^(6-2) = q⁴ = 16 to q⁴ = 2⁴ to q = 2
Wracamy do zależności na wyraz ogólny, najprościej będzie z wyrazu a3,
a3 = (a1)•q² = 12 to (a1)•2² = 12 to 4•(a1) = 12 to a1 = 12/4 to a1 = 3
Możemy łatwo sprawdzić, podstawiając do układu równań a1 = 3 i q = 2,
w szczególności na a7 = (a1)•q^6 = 3•2^6 = 3•2³•2³ = 3•8•8 = 192 to L = P
(lewa strona równania L równa się prawej stronie równania P, co należało sprawdzić).
