Odpowiedź :
Odpowiedź:
1. B., 2. D., 3. A.,
4. A. Zdanie prawdziwe.
4. B. Zdanie fałszywe.
4. C. Zdanie prawdziwe
5. Prostymi równoległymi jest para r i t
Prostymi prostopadłymi jest para k i m
Prostymi prostopadłymi jest para l i p.
6. Wzór funkcji f jest w postaci kierunkowej y = - 3x + 6 a w postaci
ogólnej y + 3x - 6 = 0.
Szczegółowe wyjaśnienie:
1. Prosta L: y = (2/3) x - 1 jest prostą w postaci kierunkowej, gdzie współczynnik kierunkowy (współczynnik przy niewiadomej x) prostej L, m = 2/3 = tg∢[L, 0x+] = tgα, w układzie 0xy, m = tangensowi kąta zawartego między prostą L dodatnim kierunkiem osi 0x , (w skrócie, jest to tangens kąta nachylenia prostej L do osi 0x)
Tylko te proste, które mają taki sam kąt nachylenia do osi 0x ( taki sam współczynnik m) są do siebie równoległe, a więc należy przekształcić wskazane proste z postaci ogólnej do postaci kierunkowej i porównać współczynniki m:
1. A. 2x + 3y + 5= 0 to 3y = - 2x - 5 /:3 [obie strony równania dzielimy przez 3] to y = (- 2/3)x - 5/3, to m = - 2/3 ≠ 2/3, odpada, bo szukamy prostej, dla której m 2/3.
B. 2x - 3y + 5 = 0 to - 3y = - 2x - 5 /:(-3) to y = (- 2/- 3)x + 5/3 to
y = (2/3)x + 5/3 to m = 2/3, a więc dalej już nie szukamy,
odpowiedź: 1. B.
2. f(x) = (m - 3)x - 1 i g(x) = 2x - m, w skrócie zapiszemy warunek:
m = 0; 1; 3; 5. Będziemy podstawiać wskazane wartości m i sprawdzać dla
y = f(x) i y = g(x), czy współczynniki m (współczynniki przy niewiadomej x) są równe, jeżeli będą równe to proste wyrażone funkcjami g(x) i f(x) będą równoległe:
m = 0 to f(x) = - 3x - 1 i g(x) = 2x nie są równoległe (bo mają różne współczynniki kierunkowe m.
m = 1 to f(x) = -2x - 1 i g(x) = 2 x - 1 nie są równoległe.
m = 3 to f(x) = (3 - 3)x - 1 to f(x) = 0•x -1 = -1 i g(x) = 2x - 3 nie są równoległe.
m = 5 to f(x) = 2x - 1 i g(x = 2x - 5 są równoległe bo mają równe współczynniki kierunkowe (współczynniki przy niewiadomej x) m = 2,
więc odpowiedź: 2. D.
3. Wskaż prostą prostopadłą do prostej 5x +2y - 3 = 0
Przekształcimy tą prostą z postaci ogólnej do postaci kierunkowej, by porównywać współczynniki kierunkowe prostych:
5x +2y - 3 = 0 to 2y = - 5x + 3 /:2 to oznaczmy y1 = (-5/2)x + 3/2 gdzie oznaczymy dla tej prostej m1 = -5 /2 bo dla odróżnienia współczynniki porównywanych prostych będziemy oznaczać przez m2,
( y1, m1, m2 oznaczają y ze znaczkiem 1, m ze znaczkiem 1, m ze znaczkiem 2 ). ≠
Tangens kąta φ (fi) między dwoma prostymi o współczynnikach m1, m2 jest równy, tgφ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1•m2), ( / oznacza kreskę ułamkową),
∓ dlatego, że kąty między prostymi zawsze występują dwa kąty, jeden jest kątem ostrym (tgφ jest wtedy dodatni) a drugi jest kątem rozwartym (tangens kąta (90º; 180º) jest ujemny.
Z tej zależności tgφ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1•m2) wynika, że dla prostych równoległych (tg0º = 0, więc licznik ułamka tej zależności na tgφ
m1 - m2 = 0 to m1 = m2),
Dla prostych prostopadłych, (tg90º = + ∞), więc by spełniony był warunek, że wartość ułamka z zależności na tgφ dąży do + ∞, to
mianownik tego ułamka musi dążyć do zera 0, z tego warunku wynika, że dla prostych prostopadłych 1 + m1•m2 = 0.
Będziemy więc sprawdzać, czy proste A. B. C. D o współczynniku m2 spełniają ostatni warunek 1 + m1•m2 = 0.
Na początku zadania mamy prostą 5x +2y - 3 = 0 to y = (-5/2)x + 3/2
o współczynniku m1 = -5/2, więc sprawdzamy:
3. A. m2 = 2/5, sprawdzamy warunek, czy są prostopadłe:
1 + m1•m2 = 1 + (-5/2)•(2/5) = 1 - 1 = 0, więc są prostopadłe,
to odpowiedź: A.
B. m2 = - 2/5 to 1 + (-5/2)•(-2/5) = 1 + 1 ≠ 0, nie są prostopadłe.
C. m2 = 5/2 to 1 + (-5/2)•(5/2) = 1 - 25/4 ≠ 0, nie są prostopadłe.
D. m2 = -5/2 to 1 + (-5/2)•(-5/2) = 1 + 25/4 ≠ 0, nie są prostopadłe.
4. A. 2x + y = 0 i x - 2y = 3 to y = - 2x i - 2y = 3 - x to
y = - 2x i - 2y = 3 - x /:(-2), y = (1/2)x - 3/2 m1 = -2 i m2 = 1/2 to
1 + m1m2 = 1 + (-2)(1/2) = 1 - 1 = 0, to Proste k i l są prostopadłe,
odpowiedź: 4. A. zdanie prawdziwe
B. 2x + y = 1 i 2x - y = - 1 to y = - 2x + 1 i - y = - 2x - 1, y = 2x + 1 to
m1 = -2 i m2 = 2 to 1 + (- 2•2) = 1 - 4 ≠ 0, nie są prostopadłe.
Odpowiedź: 4. B. Zdanie fałszywe
C. y = - 3 i x = 3 to w tym przypadku, (gdy proste są prostopadłe w układzie współrzędnych 0xy do osi 0x, osi 0y) musimy wnioskować z położenia tych prostych w układzie współrzędnych 0xy.
Mianowicie, prosta o równaniu y = -3 jest prostą poziomą, przecinającą oś 0y w punkcie y = -3, a prosta x = 3 jest prostą pionową, przecinającą oś 0x w punkcie x = 3 - więc te proste, prosta pozioma i prosta pionowa względem siebie są prostopadłe. Odpowiedź: 4. C. Zdanie prawdziwe
5. Prostymi równoległymi jest para r i t,
ponieważ mają równe współczynniki kierunkowe m.
Prostymi prostopadłymi jest para k i m , jako prosta pozioma i
prosta pionowa.
Prostymi prostopadłymi jest para l i p, ponieważ spełniają warunek
1 + m1•m2 = 0
6. Miejscem zerowym szukanej funkcji liniowej f = f(x) jest liczba 2 oraz
wykres funkcji f = f(x) jest równoległy do funkcji g(x) = - 3x + 4
to funkcja f = f(x) jako równoległa prosta do prostej g(x) ma
współczynnik kierunkowy m = - 3 i przechodzi przez punkt
(x1, y1) = (2, 0), to punkt (2, 0) spełnia równanie funkcji f, więc wzór
funkcji f = f(x) jest w postaci kierunkowej y - y1 = m(x - x1) to f = f(x)
jest w postaci kierunkowej: y - 0 = -3(x -2) to szukana funkcja f = f(x)
w postaci kierunkowej y = - 3x + 6 a w postaci ogólnej
y + 3x - 6 = 0
