Szczegółowe wyjaśnienie:
18)
[tex]2x^2-6xy+11y^2\geq0\qquad|:2\\\\x^2-3xy+\dfrac{11}{2}y^2\geq0\\\\\underbrace{x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{3}{2}y+\left(\dfrac{3}{2}y\right)^2}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}-\left(\dfrac{3}{2}y\right)^2+\dfrac{11}{2}y^2\geq0\\\\\left(x-\dfrac{3}{2}y\right)^2-\dfrac{9}{4}y^2+\dfrac{22}{4}y^2\geq0\\\\\left(x-\dfrac{3}{2}y\right)^2+\dfrac{13}{4}y^2\geq0[/tex]
jako, że
[tex]\left(x-\dfrac{3}{2}y\right)^2\geq0\ \wedge\ \dfrac{13}{4}y^2\geq0\ \text{dla}\ x,\ y\in\mathbb{R}[/tex]
mamy
[tex]\left(x-\dfrac{3}{2}y\right)^2+\dfrac{13}{4}y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ a,\ b\in\mathbb{R}[/tex]
czyli
[tex]2x^2-6xy+11y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ a,b\in\mathbb{R}[/tex] [tex]\blacksquare[/tex]
19)
[tex]a^2+b^2-6a+2b+11>0\\\\a^2-6a+b^2+2b+11>0\\\\\underbrace{a^2-2\cdot a\cdot3+3^2}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}-3^2+\underbrace{b^2+2\cdot b\cdot1+1^2}_{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}-1^2+11>0\\\\(a-3)^2+(b+1)^2-9-1+11>0\\\\(a-3)^2+(b+1)^2+1>0[/tex]
jako, że
[tex](a-3)^2\geq0\ \wedge\ (b+1)^2\geq0\ \wedge\ 1>0[/tex]
mamy
[tex](a-3)^2+(b+1)^2+1>0\ \text{dla kazdego}\ a,b\in\mathbb{R}[/tex]
czyli
[tex]a^2+b^2-6a+2b+11>0\ \text{dla kazdego}\ a,b\in\mathbb{R}[/tex] [tex]\blacksquare[/tex]
