Odpowiedź:
Czworokąt ABCD jest prostokątem.
Szczegółowe wyjaśnienie:
ABCD jest prostokątem, jeżeli wektory parami AB, CD i AD, BC są równe lub przeciwne oraz wektory AB i BC są prostopadłe.
Obliczamy współrzędne wektorów:
[tex]A(1,\ 2,\ 1);\ B(9,\ 6,\ 2)\\\\\overrightarrow{AB}=[9-1,\ 6-2,\ 2-1]=[8,\ 4,\ 1]\\\\C(10,\ 5,\ -2);\ D(2,\ 1,\ -3)\\\\\overrightarrow{CD}=[2-10,\ 1-5,\ -3-(-2)]=[-8,\, -4,\ -1]=-[8,\ 4,\ 1]\\\\\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\qquad\bold{OK}[/tex]
[tex]A(1,\ 2,\ 1);\ D(2,\ 1,\ -3)\\\\\overrightarrow{AD}=[2-1,\ 1-2,\ -3-1]=[1,\ -1,\ -4]\\\\B(9,\ 6,\ 2);\ C(10,\ 5,\ -2)\\\\\overrightarrow{BC}=[10-9,\ 5-6,\ -2-2]=[1,\ -1,\ -4]\\\\\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\qquad\bold{OK}[/tex]
Wektory są prostopadłe, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi 0:
[tex]\overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{BC}=[8,\ 4,\ 1]\ \circ[1,\ -1,\ -4]=8\cdot1+4\cdot(-1)+1\cdot(-4)\\\\=8-4-4=0[/tex]
