Odpowiedź:
Wartość największa wynosi 27 dla x = 4.
Wartość najmniejsza wynosi 0 dla x = 1.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=3x^2-6x+3,\ x\in\left<0,\ 4\right>[/tex]
Jest to funkcja kwadratowa. Jej wykresem jest parabola. Musimy na początku zbadać, czy odcięta wierzchołka paraboli nie znajduje się z zadanym przedziale.
Wierzchołek:
[tex]f(x)=ax^2+bx+c\\\\W(p,\ q)\\\\p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex]
Sprawdzamy:
[tex]a=3,\ b=-6,\ c=3\\\\p=\dfrac{-(-6)}{2\cdot3}=\dfrac{6}{6}=1\in\left<0,\ 4\right>[/tex]
obliczamy wartość:
[tex]q=f(1)=3\cdot1^2-6\cdot1+3=3-6+3=0[/tex]
[tex]a=3>0[/tex], więc jest to najmniejsza wartość funkcji w tym przedziale.
Bardziej oddalony od wierzchołka jest kraniec przedział po prawej stronie, czyli x = 4. Funkcja przyjmie tam największą wartość w tym przedziale.
Obliczamy:
[tex]f(4)=3\cdot4^2-6\cdot4+3=3\cdot16-24+3=48-24+3=27[/tex]
