Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{q=\dfrac{3}{2}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli [tex](x,\ y,\ z)[/tex] tworzą ciąg geometryczny, to [tex]xz=y^2[/tex].
Mamy:
[tex](4x,\ 3x+6,\ 9x)[/tex] - ciąg geometryczny.
Stąd:
[tex]4x\cdot9x=(3x+6)^2\\\\36x^2=\underbrace{9x^2+36x+36}_{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\qquad|-36x^2\\\\-27x^2+36x+36=0\qquad|:(-9)\\\\3x^2-4x-4=0\\\\a=3,\ b=-4,\ c=-4\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-4)=16+48=64\\\sqrt\Delta=\sqrt{64}=8\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\\\x_1=\dfrac{-(-4)-8}{2\cdot3}=\dfrac{4-8}{6}=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}\\\\x_2=\dfrac{-(-4)+8}{2\cdot3}=\dfrac{4+8}{6}=\dfrac{12}{6}=2[/tex]
Stąd mamy możliwe dwa ciągi:
[tex]x=-\dfrac{2}{3}\\\\4x=4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}\\\\3x+6=3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)+6=-2+6=4\\\\9x=9\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=3\cdot(-2)=-6[/tex]
Ciąg nie jest monotoniczny
[tex]x=2\\\\4x=4\cdot2=8\\\\3x+6=3\cdot2+6=6+6=12\\\\9x=9\cdot2=18[/tex]
Ciąg jest rosnący
Obliczamy jego iloraz:
[tex]q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\\\q=\dfrac{12}{8}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}[/tex]
